Решите уравнение $\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$

Нам нужно решить уравнение: $$\frac{1}{2(x+1)} + \frac{1}{x+2} = \frac{3}{x+3}$$ Сначала найдём общий знаменатель для левой части: $$\frac{1 \cdot (x+2) + 1 \cdot 2(x+1)}{2(x+1)(x+2)} = \frac{3}{x+3}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{x+2 + 2x+2}{2(x+1)(x+2)} = \frac{3}{x+3}$$ $$\frac{3x+4}{2(x+1)(x+2)} = \frac{3}{x+3}$$ Теперь перемножим крест-накрест: $$(3x+4)(x+3) = 3 \cdot 2(x+1)(x+2)$$ $$(3x+4)(x+3) = 6(x+1)(x+2)$$ Раскроем скобки с обеих сторон: $$3x^2 + 9x + 4x + 12 = 6(x^2 + 2x + x + 2)$$ $$3x^2 + 13x + 12 = 6(x^2 + 3x + 2)$$ $$3x^2 + 13x + 12 = 6x^2 + 18x + 12$$ Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$0 = 6x^2 - 3x^2 + 18x - 13x + 12 - 12$$ $$0 = 3x^2 + 5x$$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$x(3x + 5) = 0$$ Отсюда следует, что один из множителей должен быть равен нулю: $$x = 0$$ или $$3x + 5 = 0$$ Если $3x + 5 = 0$, то $3x = -5$, а $x = -\frac{5}{3}$. Теперь нужно проверить, не обращает ли какой-либо из найденных корней знаменатели исходного уравнения в ноль. Знаменатели равны $2(x+1)$, $x+2$ и $x+3$. Значит, $x \ne -1$, $x \ne -2$, $x \ne -3$. Для $x = 0$: $2(0+1) = 2 \ne 0$, $0+2 = 2 \ne 0$, $0+3 = 3 \ne 0$. Значит, $x=0$ — корень. Для $x = -\frac{5}{3}$: $2(-\frac{5}{3}+1) = 2(-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{3} \ne 0$, $-\frac{5}{3}+2 = \frac{1}{3} \ne 0$, $-\frac{5}{3}+3 = \frac{4}{3} \ne 0$. Значит, $x=-\frac{5}{3}$ — корень. **Ответ:** $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{5}{3}$