Найдите допустимые значения переменной для дроби: а) $\frac{3y}{|y|-1}$

12. Найдите допустимые значения переменной для дроби: а) $\frac{3y}{|y|-1}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $|y|-1 \neq 0$. Значит, $|y| \neq 1$, то есть $y \neq 1$ и $y \neq -1$. **Ответ: $y \neq \pm 1$** б) $\frac{2}{y^2-5|y|}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $y^2-5|y| \neq 0$. Вынесем $|y|$ за скобки: $|y|(|y|-5) \neq 0$. Значит, $|y| \neq 0$ и $|y|-5 \neq 0$. Отсюда $y \neq 0$ и $|y| \neq 5$, то есть $y \neq 5$ и $y \neq -5$. **Ответ: $y \neq 0, y \neq \pm 5$** в) $\frac{5y-10}{3}$ Знаменатель равен 3, он никогда не равен нулю. Поэтому $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y \in \mathbb{R}$** г) $\frac{y}{y^2+2y-3}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $y^2+2y-3 \neq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $y^2+2y-3 = 0$ с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$. $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$. $y_1 = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$. $y_2 = \frac{-2-4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$. Значит, $y \neq 1$ и $y \neq -3$. **Ответ: $y \neq 1, y \neq -3$** д) $\frac{18}{y^3-64y}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $y^3-64y \neq 0$. Вынесем $y$ за скобки: $y(y^2-64) \neq 0$. Разложим $y^2-64$ как разность квадратов: $y(y-8)(y+8) \neq 0$. Значит, $y \neq 0$, $y-8 \neq 0$ (то есть $y \neq 8$) и $y+8 \neq 0$ (то есть $y \neq -8$). **Ответ: $y \neq 0, y \neq \pm 8$** е) $\frac{2y-1}{(2y+1)^3-(8y+4)}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $(2y+1)^3-(8y+4) \neq 0$. Разложим $8y+4$ как $4(2y+1)$: $(2y+1)^3 - 4(2y+1) \neq 0$. Вынесем $(2y+1)$ за скобки: $(2y+1)((2y+1)^2 - 4) \neq 0$. Разложим $(2y+1)^2 - 4$ как разность квадратов: $(2y+1)( (2y+1)-2 ) ( (2y+1)+2 ) \neq 0$. $(2y+1)(2y-1)(2y+3) \neq 0$. Значит, $2y+1 \neq 0$ (то есть $y \neq -\frac{1}{2}$), $2y-1 \neq 0$ (то есть $y \neq \frac{1}{2}$) и $2y+3 \neq 0$ (то есть $y \neq -\frac{3}{2}$). **Ответ: $y \neq \pm \frac{1}{2}, y \neq -\frac{3}{2}$** 13. Найдите область допустимых значений переменных в выражении: а) $\frac{4x^2-1}{4}$ Знаменатель равен 4, он никогда не равен нулю. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x \in \mathbb{R}$** б) $\frac{4}{4x^2-1}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $4x^2-1 \neq 0$. Разложим как разность квадратов: $(2x-1)(2x+1) \neq 0$. Значит, $2x-1 \neq 0$ (то есть $x \neq \frac{1}{2}$) и $2x+1 \neq 0$ (то есть $x \neq -\frac{1}{2}$). **Ответ: $x \neq \pm \frac{1}{2}$** в) $\frac{2xy}{x^2-y^2}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2-y^2 \neq 0$. Разложим как разность квадратов: $(x-y)(x+y) \neq 0$. Значит, $x-y \neq 0$ (то есть $x \neq y$) и $x+y \neq 0$ (то есть $x \neq -y$). **Ответ: $x \neq \pm y$** г) $\frac{x^2-y^2}{2xy}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $2xy \neq 0$. Значит, $x \neq 0$ и $y \neq 0$. **Ответ: $x \neq 0, y \neq 0$** 14. Найдите область определения функции: а) $f(x) = - \frac{1}{x^2-x}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2-x \neq 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x-1) \neq 0$. Значит, $x \neq 0$ и $x-1 \neq 0$ (то есть $x \neq 1$). **Ответ: $x \neq 0, x \neq 1$** б) $g(x) = \frac{x^2-x}{1-x}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $1-x \neq 0$. Значит, $x \neq 1$. **Ответ: $x \neq 1$** в) $\alpha(x) = \frac{x-x^3}{3}$ Знаменатель равен 3, он никогда не равен нулю. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x \in \mathbb{R}$** г) $\beta(x) = \frac{2x-1}{2x^2-x-1}$ Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $2x^2-x-1 \neq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $2x^2-x-1 = 0$ с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$. $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$. $x_1 = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$. $x_2 = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq -\frac{1}{2}$. **Ответ: $x \neq 1, x \neq -\frac{1}{2}$**