Найдите наименьшее значение функции y = 11 tg x - 11x - 11π/4 + 12 на отрезке [-π/4; π/4]

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = 11 \operatorname{tg} x - 11x - \frac{11\pi}{4} + 12$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$, нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю, найти критические точки и затем сравнить значения функции в этих точках и на концах отрезка. 1. Найдём производную функции: $$y' = (11 \operatorname{tg} x - 11x - \frac{11\pi}{4} + 12)'$$ $$y' = 11 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - 11 - 0 + 0$$ $$y' = \frac{11}{\cos^2 x} - 11$$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$\frac{11}{\cos^2 x} - 11 = 0$$ $$\frac{11}{\cos^2 x} = 11$$ $$11 = 11 \cos^2 x$$ $$\cos^2 x = 1$$ $$\cos x = \pm 1$$ На отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$ значения $x$, при которых $\cos x = \pm 1$, это $x=0$ (так как $\cos 0 = 1$). 3. Определим знак производной: Для $x \in [-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$, $\cos x \neq 0$. Значит $\cos^2 x$ всегда больше 0. На этом отрезке $\cos^2 x \le 1$. Следовательно, $\frac{1}{\cos^2 x} \ge 1$. Тогда $y' = 11 \left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right) \ge 0$. Производная $y' \ge 0$ на всем отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$. Это означает, что функция монотонно возрастает на этом отрезке. 4. Для возрастающей функции наименьшее значение будет на левом конце отрезка. Найдём значение функции в точке $x = -\frac{\pi}{4}$: $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 11 \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 11\left(-\frac{\pi}{4}\right) - \frac{11\pi}{4} + 12$$ Мы знаем, что $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$. $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 11 \cdot (-1) + \frac{11\pi}{4} - \frac{11\pi}{4} + 12$$ $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -11 + 0 + 12$$ $$y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 1$$ **Ответ:** 1