1. Задайте неравенством числовой промежуток, изображенный на рисунке:
a) $$x \ge 2,4$$
б) $$x \in (- \infty; 5,2]$$
2. Изобразите на координатной прямой числовой промежуток, заданный неравенством:
a) $$x \ge 8$$
:::div .chart-container @chart-1:::
b) $$-0,1 \le x < 4,8$$
:::div .chart-container @chart-2:::
3. Найди расстояние между точками А и В на координатной прямой, если точки имеют координаты: А(-0,7), В($$2\frac{1}{6}$$)
Расстояние между точками А и В равно:
$$|2\frac{1}{6} - (-0,7)| = |\frac{13}{6} + \frac{7}{10}| = |\frac{65}{30} + \frac{21}{30}| = |\frac{86}{30}| = \frac{43}{15} \approx 2,867$$
**Ответ: $\frac{43}{15}$**
4. Функция задана формулой $$y = 2,5x - 1$$
5. Заполните пустые клетки таблицы.
Заполним таблицу, подставляя значения $x$ в формулу $$y = 2,5x - 1$$:
При $$x = -6$$: $$y = 2,5 \cdot (-6) - 1 = -15 - 1 = -16$$
При $$x = 0$$: $$y = 2,5 \cdot 0 - 1 = -1$$
При $$x = 4$$: $$y = 2,5 \cdot 4 - 1 = 10 - 1 = 9$$
| x | y |
|---|---|
| -6 | -16 |
| 0 | -1 |
| 4 | 9 |
6. Принадлежит ли точка А(-5;9) графику функции, заданной формулой $$y = 3x + 4$$? Укажите точку, которая принадлежит этому графику.
Подставим координаты точки А(-5;9) в уравнение $$y = 3x + 4$$:
$$9 = 3 \cdot (-5) + 4$$
$$9 = -15 + 4$$
$$9 = -11$$
Это неверно, значит, точка А(-5;9) не принадлежит графику функции.
Для того чтобы найти точку, которая принадлежит графику, можно взять любое значение $x$, например $x = 0$:
$$y = 3 \cdot 0 + 4 = 4$$
Значит, точка (0;4) принадлежит графику. Можно также взять, например, точку (1;7).
**Ответ: Точка А(-5;9) не принадлежит графику. Например, точка (0;4) принадлежит графику.**
7. Найдите координаты точки пересечения прямой, заданной уравнением $$y = - \frac{1}{2}x - 3$$ с осью $Ox$.
Точка пересечения с осью $Ox$ имеет координату $$y = 0$$. Подставим $$y = 0$$ в уравнение прямой:
$$0 = - \frac{1}{2}x - 3$$
$$\frac{1}{2}x = -3$$
$$x = -6$$
Координаты точки пересечения с осью $Ox$: (-6; 0).
**Ответ: (-6; 0)**
8. Используя график функции, заполни таблицу:
По графику видно, что:
При $$x = -2$$, $$y = 0$$
При $$x = 0$$, $$y = -2$$
При $$x = 3$$, $$y = 0$$
| x | y |
|---|---|
| -2 | 0 |
| 0 | -2 |
| 3 | 0 |
9. Постройте графики функций и запишите координаты точки их пересечения: $$y = 2x$$ и $$y = -3x - 5$$
Для построения графиков найдем по две точки для каждой функции.
Для $$y = 2x$$:
При $$x = 0$$, $$y = 0$$
При $$x = 1$$, $$y = 2$$
Для $$y = -3x - 5$$:
При $$x = 0$$, $$y = -5$$
При $$x = -1$$, $$y = -3 \cdot (-1) - 5 = 3 - 5 = -2$$
Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для $y$:
$$2x = -3x - 5$$
$$2x + 3x = -5$$
$$5x = -5$$
$$x = -1$$
Теперь найдем соответствующее значение $y$:
$$y = 2x = 2 \cdot (-1) = -2$$
Точка пересечения: (-1; -2).
:::div .chart-container @chart-3:::
**Ответ: Точка пересечения (-1; -2).**
10. График функции $$y = kx + 6$$ проходит через точку $$(12; -4)$$. Найдите коэффициент $k$.
Подставим координаты точки (12; -4) в уравнение функции:
$$-4 = k \cdot 12 + 6$$
$$-4 - 6 = 12k$$
$$-10 = 12k$$
$$k = -\frac{10}{12}$$
$$k = -\frac{5}{6}$$
**Ответ: $$k = -\frac{5}{6}$$**
11. Построй график кусочно-заданной функции: $$y = \begin{cases} -x + 1, & \text{при } x < 1 \\ 2x - 2, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$$
Для $$x < 1$$: $$y = -x + 1$$
При $$x = 1$$ (выколотая точка): $$y = -1 + 1 = 0$$
При $$x = 0$$: $$y = 0 + 1 = 1$$
При $$x = -1$$: $$y = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2$$
Для $$x \ge 1$$: $$y = 2x - 2$$
При $$x = 1$$ (включенная точка): $$y = 2 \cdot 1 - 2 = 2 - 2 = 0$$
При $$x = 2$$: $$y = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2$$
При $$x = 3$$: $$y = 2 \cdot 3 - 2 = 6 - 2 = 4$$
:::div .chart-container @chart-4:::
