Решите уравнение $\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}$

Дано уравнение: $$\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = 2x - \frac{\pi}{2}$$ Преобразуем левую часть уравнения: $$\sqrt{2}(\cos x - \sin x) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x \right) = 2 \left( \cos \frac{\pi}{4}\cos x - \sin \frac{\pi}{4}\sin x \right)$$ Применяем формулу косинуса суммы $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$: $$2 \left( \cos \frac{\pi}{4}\cos x - \sin \frac{\pi}{4}\sin x \right) = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$ Теперь наше уравнение выглядит так: $$2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 2x - \frac{\pi}{2}$$ Перепишем правую часть: $$2x - \frac{\pi}{2} = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$ Получаем уравнение: $$2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$ Разделим обе части на 2: $$\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = x - \frac{\pi}{4}$$ Введем замену переменной: $t = x + \frac{\pi}{4}$. Тогда $x - \frac{\pi}{4} = t - \frac{\pi}{2}$. Уравнение принимает вид: $$\cos t = t - \frac{\pi}{2}$$ Рассмотрим функции $f(t) = \cos t$ и $g(t) = t - \frac{\pi}{2}$. Производная $f(t)' = -\sin t$. Производная $g(t)' = 1$. Известно, что $-1 \le \cos t \le 1$. Это значит, что для решения уравнения $t - \frac{\pi}{2}$ должно быть в диапазоне от $-1$ до $1$: $$-1 \le t - \frac{\pi}{2} \le 1$$ $$-1 + \frac{\pi}{2} \le t \le 1 + \frac{\pi}{2}$$ Приблизительные значения: $\pi \approx 3.14$, $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$. $$-1 + 1.57 \le t \le 1 + 1.57$$ $$0.57 \le t \le 2.57$$ На этом интервале $t \in [0.57; 2.57]$ функция $g(t) = t - \frac{\pi}{2}$ возрастает, так как её производная $g'(t)=1 > 0$. Функция $f(t) = \cos t$ на этом интервале: $t = 0.57$ (примерно $32.6^\circ$), $\cos(0.57) \approx 0.84$. $t = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ (примерно $90^\circ$), $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. $t = 2.57$ (примерно $147.3^\circ$), $\cos(2.57) \approx -0.84$. В точке $t = \frac{\pi}{2}$: $f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ $g(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0$ Таким образом, $t = \frac{\pi}{2}$ является решением уравнения. Поскольку $t = x + \frac{\pi}{4}$, то: $$\frac{\pi}{2} = x + \frac{\pi}{4}$$ $$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}$$ $$x = \frac{2\pi - \pi}{4}$$ $$x = \frac{\pi}{4}$$ Чтобы убедиться, что это единственное решение, рассмотрим производные. Для $t \in [0.57; \pi]$, $\cos t$ убывает, а $t - \frac{\pi}{2}$ возрастает, поэтому они могут пересекаться только в одной точке. Для $t \in [\pi; 2.57]$, $\cos t$ продолжает убывать. Таким образом, $t = \frac{\pi}{2}$ - единственное решение уравнения $\cos t = t - \frac{\pi}{2}$. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4}$