14. Маше надо подписать 315 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Маша подписала 7 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за шестой день, если вся работа была выполнена за 15 дней.

1. Задача про Машу. Это задача на арифметическую прогрессию. Пусть Маша в первый день подписала $a_1$ открыток, а ежедневно она подписывает на $d$ открыток больше. Количество открыток, которые Маша подписала в первый день: $a_1 = 7$. Всего нужно подписать 315 открыток. Работа выполнена за 15 дней, то есть $n = 15$. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{(2a_1 + d(n-1))n}{2}$$ Подставим известные значения: $$315 = \frac{(2 \cdot 7 + d(15-1))15}{2}$$ $$315 = \frac{(14 + 14d)15}{2}$$ Умножим обе части на 2: $$630 = (14 + 14d)15$$ Разделим обе части на 15: $$\frac{630}{15} = 14 + 14d$$ $$42 = 14 + 14d$$ Вычтем 14 из обеих частей: $$42 - 14 = 14d$$ $$28 = 14d$$ Разделим на 14: $$d = \frac{28}{14}$$ $$d = 2$$ Теперь найдем, сколько открыток Маша подписала в шестой день. Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + d(n-1)$$ Для шестого дня ($n=6$): $$a_6 = 7 + 2(6-1)$$ $$a_6 = 7 + 2 \cdot 5$$ $$a_6 = 7 + 10$$ $$a_6 = 17$$ **Ответ: 17** 2. Задача про треугольник. Дано: $\triangle ABC$, прямая $MN \parallel AC$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. $AB = 28$, $AC = 16$, $MN = 12$. Найти $BM$. Так как $MN \parallel AC$, то $\triangle BMN$ подобен $\triangle BAC$ по двум углам (общий угол $\angle B$ и соответственные углы $\angle BMN = \angle BAC$, $\angle BNM = \angle BCA$). Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон: $$\frac{BM}{AB} = \frac{MN}{AC}$$ Подставим известные значения: $$\frac{BM}{28} = \frac{12}{16}$$ Упростим дробь $\frac{12}{16}$: $$\frac{12}{16} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{3}{4}$$ Теперь уравнение выглядит так: $$\frac{BM}{28} = \frac{3}{4}$$ Чтобы найти $BM$, умножим обе части уравнения на 28: $$BM = \frac{3}{4} \cdot 28$$ $$BM = 3 \cdot \frac{28}{4}$$ $$BM = 3 \cdot 7$$ $$BM = 21$$ **Ответ: 21**