При каких значениях букв данная алгебраическая дробь имеет смысл?

1. При каких значениях букв данная алгебраическая дробь имеет смысл? a) Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. То есть $c-6 \neq 0$, отсюда $c \neq 6$. **Ответ: $c \neq 6$** б) Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. То есть $b-1,5 \neq 0$, отсюда $b \neq 1,5$. **Ответ: $b \neq 1,5$** в) Дробь имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю. Знаменатель $|m|+25$. Так как $|m| \ge 0$, то $|m|+25 \ge 25$. Значит, знаменатель всегда больше нуля и никогда не равен нулю при любых значениях $m$. **Ответ: $m$ — любое действительное число** 2. Сократите дробь: a) $$\frac{14a^3b^5}{21a^4b} = \frac{2 \cdot 7 \cdot a^3 \cdot b \cdot b^4}{3 \cdot 7 \cdot a^3 \cdot a \cdot b} = \frac{2b^4}{3a}$$ **Ответ: $$\frac{2b^4}{3a}$$** б) $$\frac{x^2+x}{x^2} = \frac{x(x+1)}{x^2} = \frac{x+1}{x}$$ **Ответ: $$\frac{x+1}{x}$$** в) $$\frac{a+2b}{a^2-4b^2} = \frac{a+2b}{(a-2b)(a+2b)} = \frac{1}{a-2b}$$ **Ответ: $$\frac{1}{a-2b}$$** г) $$\frac{ax-ay+3x-3y}{9-a^2} = \frac{a(x-y)+3(x-y)}{(3-a)(3+a)} = \frac{(x-y)(a+3)}{(3-a)(3+a)} = \frac{x-y}{3-a}$$ **Ответ: $$\frac{x-y}{3-a}$$** д) $$\frac{x^{23}y^{23}+x^9y^{55}}{x^{15}y+xy^{33}} = \frac{x^9y^{23}(x^{14}+y^{32})}{xy(x^{14}+y^{32})} = x^8y^{22}$$ **Ответ: $x^8y^{22}$** е) $$\frac{x^3-125y^3}{x-5y} = \frac{(x-5y)(x^2+5xy+25y^2)}{x-5y} = x^2+5xy+25y^2$$ **Ответ: $x^2+5xy+25y^2$** 3. Выполните действия: a) $$\frac{2t+1}{2-t} + \frac{4t-3}{t-2}$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $2-t = -(t-2)$. $$ \frac{2t+1}{-(t-2)} + \frac{4t-3}{t-2} = \frac{-(2t+1)}{t-2} + \frac{4t-3}{t-2} = \frac{-2t-1+4t-3}{t-2} = \frac{2t-4}{t-2} = \frac{2(t-2)}{t-2} = 2 $$ **Ответ: $2$** б) $$\frac{2-ab}{2a+ab} + \frac{b}{2+b}$$ Разложим знаменатель первой дроби: $2a+ab = a(2+b)$. $$ \frac{2-ab}{a(2+b)} + \frac{b}{2+b} = \frac{2-ab}{a(2+b)} + \frac{ab}{a(2+b)} = \frac{2-ab+ab}{a(2+b)} = \frac{2}{a(2+b)} $$ **Ответ: $$\frac{2}{a(2+b)}$$** в) $$c - \frac{c^2}{c+1} = \frac{c(c+1)}{c+1} - \frac{c^2}{c+1} = \frac{c^2+c-c^2}{c+1} = \frac{c}{c+1}$$ **Ответ: $$\frac{c}{c+1}$$** г) $$\frac{2}{x} + \frac{3x-2}{x+1}$$ Приведем к общему знаменателю $x(x+1)$: $$ \frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \frac{x(3x-2)}{x(x+1)} = \frac{2x+2+3x^2-2x}{x(x+1)} = \frac{3x^2+2}{x(x+1)} $$ **Ответ: $$\frac{3x^2+2}{x(x+1)}$$** д) $$\frac{3+x}{x^2+x} - \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x}$$ Разложим первый знаменатель: $x^2+x = x(x+1)$. $$ \frac{3+x}{x(x+1)} - \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x} $$ Общий знаменатель $x(x+1)$. $$ \frac{3+x}{x(x+1)} - \frac{1 \cdot x}{x(x+1)} + \frac{2 \cdot (x+1)}{x(x+1)} = \frac{3+x-x+2(x+1)}{x(x+1)} = \frac{3+x-x+2x+2}{x(x+1)} = \frac{2x+5}{x(x+1)} $$ **Ответ: $$\frac{2x+5}{x(x+1)}$$** е) $$\frac{4}{x^2-4} - \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$$ Разложим первый знаменатель: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. $$ \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2} $$ Общий знаменатель $(x-2)(x+2)$. $$ \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4-(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{4-x-2-x+2}{(x-2)(x+2)} = \frac{-2x}{(x-2)(x+2)} $$ **Ответ: $$\frac{-2x}{(x-2)(x+2)}$$**