Решите задачи по геометрии.

276. Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катет, лежащий против угла в $30^\circ$, пусть это будет катет $BC$, равен 5 см. То есть $BC = 5$ см, а угол $BAC = 30^\circ$. Тогда угол $ABC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Значит, $BC = \frac{1}{2} AB$. Отсюда $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 5 = 10$ см. Медиана, проведённая к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине гипотенузы. Пусть $CM$ — медиана к гипотенузе $AB$. Тогда $CM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. **Ответ: 5 см** 277. Пусть даны две вершины треугольника $A$ и $B$, которые являются концами диаметра окружности. Третья вершина $C$ лежит на этой окружности. Рассмотрим угол $ACB$. Он является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$. Свойство вписанного угла гласит: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Поскольку $AB$ — диаметр, то дуга $AB$ равна $180^\circ$. Следовательно, угол $ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Так как угол $ACB$ равен $90^\circ$, треугольник $ABC$ является прямоугольным. Что и требовалось доказать. 278. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Угол $ABC = 15^\circ$. Высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$, медиана $CM$ проведена к гипотенузе $AB$. Известно, что $CH = 4$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, $CM = AM = MB = \frac{1}{2} AB$. Из этого следует, что треугольники $AMC$ и $CMB$ равнобедренные. В треугольнике $CMB$: $CM = MB$, значит, $\angle MCB = \angle MBC = 15^\circ$. (Так как $\angle ABC = 15^\circ$) Угол $AMC$ является внешним углом треугольника $CMB$. Следовательно, $\angle AMC = \angle MCB + \angle MBC = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHM$. Угол $CHM = 90^\circ$, так как $CH$ — высота. Мы знаем, что $\angle CMH = \angle AMC = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике $CHM$ катет $CH$ лежит против угла $CMH$, равного $30^\circ$. Значит, $CH = \frac{1}{2} CM$. Мы знаем, что $CH = 4$, поэтому $4 = \frac{1}{2} CM$. Отсюда $CM = 2 \cdot 4 = 8$. Поскольку $CM = \frac{1}{2} AB$, то $AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 8 = 16$. **Ответ: 16**