Решите уравнение $(\frac{1}{2})^{2x} - (\frac{1}{2})^{x-2} - 32 = 0$

Нам нужно решить показательное уравнение. Запишем уравнение: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} - \left(\frac{1}{2}\right)^{x-2} - 32 = 0 $$ Для удобства переведем $\frac{1}{2}$ в $2^{-1}$: $$ (2^{-1})^{2x} - (2^{-1})^{x-2} - 32 = 0 $$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $$ 2^{-2x} - 2^{-(x-2)} - 32 = 0 $$ $$ 2^{-2x} - 2^{-x+2} - 32 = 0 $$ Распишем второе слагаемое $2^{-x+2}$ как $2^{-x} \cdot 2^2$: $$ 2^{-2x} - 2^{-x} \cdot 2^2 - 32 = 0 $$ $$ 2^{-2x} - 4 \cdot 2^{-x} - 32 = 0 $$ Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{-x}$. Тогда $2^{-2x} = (2^{-x})^2 = y^2$. Подставим это в уравнение: $$ y^2 - 4y - 32 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 $$ Найдем корни $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ y_1 = \frac{4 + \sqrt{144}}{2} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$ $$ y_2 = \frac{4 - \sqrt{144}}{2} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4 $$ Теперь вернемся к замене $y = 2^{-x}$. Случай 1: $y_1 = 8$ $$ 2^{-x} = 8 $$ Представим 8 как степень двойки: $8 = 2^3$. $$ 2^{-x} = 2^3 $$ Так как основания равны, приравниваем показатели: $$ -x = 3 $$ $$ x = -3 $$ Случай 2: $y_2 = -4$ $$ 2^{-x} = -4 $$ Показательная функция $2^{-x}$ всегда больше нуля, поэтому $2^{-x}$ не может быть равно отрицательному числу -4. Значит, этот случай не имеет решений. **Ответ:** $x = -3$