Решите показательное уравнение $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$

Нам нужно решить показательное уравнение: $$2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$$ Сначала упростим первое слагаемое, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $$2^{2x} \cdot 2^1 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$$ $$(2^x)^2 \cdot 2 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$$ $$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 88 = 0$$ Теперь сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x$ всегда положительно, то $t > 0$. Подставим $t$ в уравнение: $$2t^2 - 5t - 88 = 0$$ Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-88)$$ $$D = 25 - (-704)$$ $$D = 25 + 704$$ $$D = 729$$ Теперь найдём корни $t_1$ и $t_2$ по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$t_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{729}}{2 \cdot 2}$$ $$t_1 = \frac{5 - 27}{4}$$ $$t_1 = \frac{-22}{4}$$ $$t_1 = -5.5$$ $$t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{729}}{2 \cdot 2}$$ $$t_2 = \frac{5 + 27}{4}$$ $$t_2 = \frac{32}{4}$$ $$t_2 = 8$$ Так как мы условились, что $t > 0$, корень $t_1 = -5.5$ нам не подходит. Используем $t_2 = 8$ для обратной замены: $$2^x = 8$$ $$2^x = 2^3$$ $$x = 3$$ **Ответ:** $x = 3$