Найдите корень уравнения $4^{x-4} = \frac{1}{2}$

5. Найдём корень уравнения $4^{x-4} = \frac{1}{2}$. Представим обе части уравнения как степени с одинаковым основанием. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. $$(2^2)^{x-4} = 2^{-1}$$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$2^{2(x-4)} = 2^{-1}$$ $$2^{2x-8} = 2^{-1}$$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $$2x - 8 = -1$$ Прибавим 8 к обеим частям уравнения: $$2x = -1 + 8$$ $$2x = 7$$ Разделим обе части на 2: $$x = \frac{7}{2}$$ $$x = 3,5$$ **Ответ: $x = 3,5$** 6. Найдём корень уравнения $\left(\frac{1}{25}\right)^{x-1} = 5$. Представим обе части уравнения как степени с одинаковым основанием. Мы знаем, что $\frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$. $$(5^{-2})^{x-1} = 5^1$$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$5^{-2(x-1)} = 5^1$$ $$5^{-2x+2} = 5^1$$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $$-2x + 2 = 1$$ Вычтем 2 из обеих частей уравнения: $$-2x = 1 - 2$$ $$-2x = -1$$ Разделим обе части на -2: $$x = \frac{-1}{-2}$$ $$x = \frac{1}{2}$$ $$x = 0,5$$ **Ответ: $x = 0,5$** 7. Найдём корень уравнения $7^{9+x} = 49$. Представим правую часть уравнения как степень с основанием 7. Мы знаем, что $49 = 7^2$. $$7^{9+x} = 7^2$$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $$9 + x = 2$$ Вычтем 9 из обеих частей уравнения: $$x = 2 - 9$$ $$x = -7$$ **Ответ: $x = -7$** 8. Найдём корень уравнения $\left(\frac{1}{4}\right)^{2+x} = 64$. Представим обе части уравнения как степени с одинаковым основанием. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$ и $64 = 4^3 = (2^2)^3 = 2^6$. $$ (4^{-1})^{2+x} = 4^3$$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$4^{-(2+x)} = 4^3$$ $$4^{-2-x} = 4^3$$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $$-2 - x = 3$$ Прибавим 2 к обеим частям уравнения: $$-x = 3 + 2$$ $$-x = 5$$ Умножим обе части на -1: $$x = -5$$ **Ответ: $x = -5$** 9. Найдём решение уравнения $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+1} = 81^x$. Представим обе части уравнения как степени с одинаковым основанием. Мы знаем, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $81 = 3^4$. $$(3^{-1})^{x+1} = (3^4)^x$$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$3^{-(x+1)} = 3^{4x}$$ $$3^{-x-1} = 3^{4x}$$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $$-x - 1 = 4x$$ Прибавим $x$ к обеим частям уравнения: $$-1 = 4x + x$$ $$-1 = 5x$$ Разделим обе части на 5: $$x = -\frac{1}{5}$$ $$x = -0,2$$ **Ответ: $x = -0,2$** 10. Решим уравнение $9^{6+x} = 81^{2x}$. Представим обе части уравнения как степени с одинаковым основанием. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$. $$(3^2)^{6+x} = (3^4)^{2x}$$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$3^{2(6+x)} = 3^{4 \cdot 2x}$$ $$3^{12+2x} = 3^{8x}$$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $$12 + 2x = 8x$$ Вычтем $2x$ из обеих частей уравнения: $$12 = 8x - 2x$$ $$12 = 6x$$ Разделим обе части на 6: $$x = \frac{12}{6}$$ $$x = 2$$ **Ответ: $x = 2$** 11. Решим уравнение $2^{3-4x} = 0,16 \cdot 5^{3-4x}$. Перепишем десятичную дробь в обыкновенную: $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}$. $$2^{3-4x} = \frac{4}{25} \cdot 5^{3-4x}$$ Разделим обе части уравнения на $5^{3-4x}$: $$\frac{2^{3-4x}}{5^{3-4x}} = \frac{4}{25}$$ Используем свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$: $$\left(\frac{2}{5}\right)^{3-4x} = \frac{4}{25}$$ Представим правую часть уравнения как степень с основанием $\frac{2}{5}$. Мы знаем, что $\frac{4}{25} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$. $$\left(\frac{2}{5}\right)^{3-4x} = \left(\frac{2}{5}\right)^2$$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $$3 - 4x = 2$$ Вычтем 3 из обеих частей уравнения: $$-4x = 2 - 3$$ $$-4x = -1$$ Разделим обе части на -4: $$x = \frac{-1}{-4}$$ $$x = \frac{1}{4}$$ $$x = 0,25$$ **Ответ: $x = 0,25$** 12. Решим уравнение $6^{3-x} = 0,6 \cdot 10^{3-x}$. Перепишем десятичную дробь в обыкновенную: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. $$6^{3-x} = \frac{3}{5} \cdot 10^{3-x}$$ Разделим обе части уравнения на $10^{3-x}$: $$\frac{6^{3-x}}{10^{3-x}} = \frac{3}{5}$$ Используем свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$: $$\left(\frac{6}{10}\right)^{3-x} = \frac{3}{5}$$ Упростим дробь $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$: $$\left(\frac{3}{5}\right)^{3-x} = \frac{3}{5}$$ Мы можем представить правую часть как $\left(\frac{3}{5}\right)^1$. $$\left(\frac{3}{5}\right)^{3-x} = \left(\frac{3}{5}\right)^1$$ Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели: $$3 - x = 1$$ Вычтем 3 из обеих частей уравнения: $$-x = 1 - 3$$ $$-x = -2$$ Умножим обе части на -1: $$x = 2$$ **Ответ: $x = 2$**