Точки M и N — середины диагоналей AC и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что MN = 1/2 (AD + CB).

1. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$. Докажите, что $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$. Для доказательства используем правило сложения векторов (правило треугольника): $\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN}$ (1) Также можно записать: $\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BN}$ (2) Сложим эти два равенства: $2\vec{MN} = \vec{MA} + \vec{AD} + \vec{DN} + \vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BN}$ Поскольку $M$ — середина $AC$, то $\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{0}$. Поскольку $N$ — середина $BD$, то $\vec{DN} + \vec{BN} = \vec{0}$. Тогда: $2\vec{MN} = \vec{AD} + \vec{CB}$ Отсюда следует: $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{CB})$ Что и требовалось доказать. 2. Отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — медианы треугольника $ABC$. Выразите векторы $\vec{AA_1}$, $\vec{BB_1}$, $\vec{CC_1}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AC}$ и $\vec{b} = \vec{AB}$. Для начала выразим вектор $\vec{BC}$. $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{a} - \vec{b}$ Так как $A_1$ — середина $BC$, то $\vec{BA_1} = \frac{1}{2}\vec{BC}$. Тогда $\vec{BA_1} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$. Теперь выразим $\vec{AA_1}$: $\vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{BA_1} = \vec{b} + \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$ Далее выразим $\vec{BB_1}$. Так как $B_1$ — середина $AC$, то $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC}$. $\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{a}$ Тогда $\vec{BB_1} = \vec{AB_1} - \vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$ Наконец, выразим $\vec{CC_1}$. Так как $C_1$ — середина $AB$, то $\vec{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{AB}$. $\vec{AC_1} = \frac{1}{2}\vec{b}$ Тогда $\vec{CC_1} = \vec{AC_1} - \vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$ **Ответ:** * $\vec{AA_1} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$ * $\vec{BB_1} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$ * $\vec{CC_1} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$