Докажите, что $a \perp BM$

1. Дано: прямая $a \perp (ABC)$, $BM$ — биссектриса. Докажите, что $a \perp BM$. Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $BM$ лежит в плоскости $(ABC)$. Значит, прямая $a$ перпендикулярна прямой $BM$. 2. Дано: прямая $a \perp (ABC)$, $BM$ — медиана. Докажите, что $a \perp BM$. Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $BM$ лежит в плоскости $(ABC)$. Значит, прямая $a$ перпендикулярна прямой $BM$. 3. Дано: $ABCD$ — прямоугольник, прямая $a \perp (ABC)$. Докажите, что $a \perp BD$. Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Диагональ $BD$ прямоугольника лежит в плоскости $(ABC)$. Значит, прямая $a$ перпендикулярна прямой $BD$. 4. Дано: окружность $\omega (O; R)$, прямая $a \perp (ABC)$. Докажите, что $a \perp AM$. Так как прямая $a$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $AM$ лежит в плоскости $(ABC)$. Значит, прямая $a$ перпендикулярна прямой $AM$. 5. Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AB \in \alpha$, $BC \perp \alpha$. Докажите, что $AC = BD$. Поскольку $BC \perp \alpha$ и $AB \in \alpha$, то $BC \perp AB$. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником. У прямоугольника диагонали равны. Значит, $AC = BD$. 6. Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AD \in \alpha$, $AB \perp \alpha$, $AD = 12$, $AB = 5$. Найдите $DB$. Так как $AB \perp \alpha$ и $AD \in \alpha$, то $AB \perp AD$. Значит, угол $DAB$ — прямой. Таким образом, параллелограмм $ABCD$ является прямоугольником. Диагональ $DB$ в прямоугольном треугольнике $DAB$ можно найти по теореме Пифагора: $$DB^2 = AD^2 + AB^2$$ $$DB^2 = 12^2 + 5^2$$ $$DB^2 = 144 + 25$$ $$DB^2 = 169$$ $$DB = \sqrt{169}$$ $$DB = 13$$ **Ответ:** $DB = 13$