Найдите углы параллелограмма \(ABCD\)

1. Найдите углы параллелограмма \(ABCD\), если: а) \(\angle A = 84^\circ\) В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\). $$\angle A = \angle C = 84^\circ$$ $$\angle B = \angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$$ **Ответ: \(\angle A = 84^\circ, \angle B = 96^\circ, \angle C = 84^\circ, \angle D = 96^\circ\)** б) \(\angle A - \angle B = 55^\circ\) Пусть \(\angle B = x\). Тогда \(\angle A = x + 55^\circ\). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): $$\angle A + \angle B = 180^\circ$$ $$(x + 55^\circ) + x = 180^\circ$$ $$2x + 55^\circ = 180^\circ$$ $$2x = 180^\circ - 55^\circ$$ $$2x = 125^\circ$$ $$x = \frac{125^\circ}{2} = 62.5^\circ$$ Значит, \(\angle B = 62.5^\circ\) и \(\angle D = 62.5^\circ\). А \(\angle A = 62.5^\circ + 55^\circ = 117.5^\circ\), и \(\angle C = 117.5^\circ\). **Ответ: \(\angle A = 117.5^\circ, \angle B = 62.5^\circ, \angle C = 117.5^\circ, \angle D = 62.5^\circ\)** в) \(\angle A + \angle C = 142^\circ\) В параллелограмме противолежащие углы равны, то есть \(\angle A = \angle C\). Значит, \(2 \cdot \angle A = 142^\circ\). $$\angle A = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ$$ Тогда \(\angle C = 71^\circ\). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): $$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$$ Тогда \(\angle D = 109^\circ\). **Ответ: \(\angle A = 71^\circ, \angle B = 109^\circ, \angle C = 71^\circ, \angle D = 109^\circ\)** г) \(\angle A = 2\angle B\) Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): $$\angle A + \angle B = 180^\circ$$ Подставим \(\angle A = 2\angle B\): $$2\angle B + \angle B = 180^\circ$$ $$3\angle B = 180^\circ$$ $$\angle B = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$$ Тогда \(\angle D = 60^\circ\). $$\angle A = 2 \cdot \angle B = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$ Тогда \(\angle C = 120^\circ\). **Ответ: \(\angle A = 120^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 120^\circ, \angle D = 60^\circ\)** д) \(\angle CAD = 16^\circ\), \(\angle ACD = 37^\circ\) В параллелограмме противолежащие стороны параллельны. Рассмотрим треугольник \(ACD\). Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle ACB = \angle CAD = 16^\circ\) (как накрест лежащие углы при секущей \(AC\)). Так как \(AB \parallel DC\), то \(\angle BAC = \angle ACD = 37^\circ\) (как накрест лежащие углы при секущей \(AC\)). Угол \(\angle A\) параллелограмма равен сумме углов \(\angle BAC\) и \(\angle CAD\): $$\angle A = \angle BAC + \angle CAD = 37^\circ + 16^\circ = 53^\circ$$ Тогда \(\angle C = \angle A = 53^\circ\). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна \(180^\circ\): $$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$$ Тогда \(\angle D = \angle B = 127^\circ\). **Ответ: \(\angle A = 53^\circ, \angle B = 127^\circ, \angle C = 53^\circ, \angle D = 127^\circ\)**