Найдите углы параллелограмма ABCD, если

1. Найдем углы параллелограмма \(ABCD\): а) Дано: \(\angle A = 84^\circ\) В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма соседних углов равна \(180^\circ\). $$ \angle A = \angle C = 84^\circ $$ $$ \angle B = \angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 84^\circ$, $\angle B = 96^\circ$, $\angle C = 84^\circ$, $\angle D = 96^\circ$** б) Дано: \(\angle A - 2\angle B = 55^\circ\) Также мы знаем, что \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Составим систему уравнений: $$ \begin{cases} \angle A - 2\angle B = 55^\circ \\ \angle A + \angle B = 180^\circ \end{cases} $$ Вычтем из второго уравнения первое: $$ (\angle A + \angle B) - (\angle A - 2\angle B) = 180^\circ - 55^\circ $$ $$ \angle A + \angle B - \angle A + 2\angle B = 125^\circ $$ $$ 3\angle B = 125^\circ $$ $$ \angle B = \frac{125^\circ}{3} \approx 41.67^\circ $$ Теперь найдем \(\angle A\): $$ \angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - \frac{125^\circ}{3} = \frac{540^\circ - 125^\circ}{3} = \frac{415^\circ}{3} \approx 138.33^\circ $$ Тогда: $$ \angle C = \angle A = \frac{415^\circ}{3} \approx 138.33^\circ $$ $$ \angle D = \angle B = \frac{125^\circ}{3} \approx 41.67^\circ $$ **Ответ: $\angle A = \frac{415^\circ}{3}$, $\angle B = \frac{125^\circ}{3}$, $\angle C = \frac{415^\circ}{3}$, $\angle D = \frac{125^\circ}{3}$** в) Дано: \(\angle A + 2\angle C = 142^\circ\) В параллелограмме \(\angle A = \angle C\). Подставим это в уравнение: $$ \angle A + 2\angle A = 142^\circ $$ $$ 3\angle A = 142^\circ $$ $$ \angle A = \frac{142^\circ}{3} \approx 47.33^\circ $$ Тогда: $$ \angle C = \angle A = \frac{142^\circ}{3} \approx 47.33^\circ $$ Найдем \(\angle B\) и \(\angle D\): $$ \angle B = \angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \frac{142^\circ}{3} = \frac{540^\circ - 142^\circ}{3} = \frac{398^\circ}{3} \approx 132.67^\circ $$ **Ответ: $\angle A = \frac{142^\circ}{3}$, $\angle B = \frac{398^\circ}{3}$, $\angle C = \frac{142^\circ}{3}$, $\angle D = \frac{398^\circ}{3}$** г) Дано: \(\angle A = 2\angle B\) Мы знаем, что \(\angle A + \angle B = 180^\circ\). Подставим \(\angle A = 2\angle B\) в это уравнение: $$ 2\angle B + \angle B = 180^\circ $$ $$ 3\angle B = 180^\circ $$ $$ \angle B = 60^\circ $$ Тогда: $$ \angle A = 2\angle B = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ $$ И, следовательно: $$ \angle C = \angle A = 120^\circ $$ $$ \angle D = \angle B = 60^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 120^\circ$, $\angle D = 60^\circ$** д) Дано: \(\angle CAD = 16^\circ\), \(\angle ACD = 37^\circ\) Рассмотрим треугольник \(\triangle ACD\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). $$ \angle D = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ $$ В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому \(\angle B = \angle D = 127^\circ\). Соседние углы в параллелограмме в сумме дают \(180^\circ\): $$ \angle A = \angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ $$ **Ответ: $\angle A = 53^\circ$, $\angle B = 127^\circ$, $\angle C = 53^\circ$, $\angle D = 127^\circ$**