а) Решим неравенство $x^2 - 5x - 50 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 50 = 0$ с помощью дискриминанта.
$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$$
$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$$
$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$$
Поскольку парабола $y = x^2 - 5x - 50$ ветвями направлена вверх и неравенство строгое (знак <), то решение находится между корнями.
**Ответ: $(-5; 10)$**
б) Решим неравенство $-m^2 - 8m + 9 \ge 0$.
Умножим обе части на -1, поменяв знак неравенства на противоположный.
$$m^2 + 8m - 9 \le 0$$
Найдем корни квадратного уравнения $m^2 + 8m - 9 = 0$ с помощью дискриминанта.
$$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$$
$$m_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$$
$$m_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$
Поскольку парабола $y = m^2 + 8m - 9$ ветвями направлена вверх и неравенство нестрогое (знак $\le$), то решение находится между корнями, включая корни.
**Ответ: $[-9; 1]$**
в) Решим неравенство $3y^2 + 4y - 4 > 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $3y^2 + 4y - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.
$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$$
$$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$$
$$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$
Поскольку парабола $y = 3y^2 + 4y - 4$ ветвями направлена вверх и неравенство строгое (знак >), то решение находится вне корней.
**Ответ: $(-\infty; -2) \cup (\frac{2}{3}; +\infty)$**
г) Решим неравенство $8p^2 + 2p \ge 21$.
Перенесем все члены в левую часть:
$$8p^2 + 2p - 21 \ge 0$$
Найдем корни квадратного уравнения $8p^2 + 2p - 21 = 0$ с помощью дискриминанта.
$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-21) = 4 + 672 = 676$$
$$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$$
$$p_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 26}{2 \cdot 8} = \frac{-28}{16} = -\frac{7}{4} = -1.75$$
$$p_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 26}{2 \cdot 8} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$$
Поскольку парабола $y = 8p^2 + 2p - 21$ ветвями направлена вверх и неравенство нестрогое (знак $\ge$), то решение находится вне корней, включая корни.
**Ответ: $(-\infty; -1.75] \cup [1.5; +\infty)$**
д) Решим неравенство $12x - 9 < 4x^2$.
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным, или в левую и умножим на -1:
$$0 < 4x^2 - 12x + 9$$
Или $4x^2 - 12x + 9 > 0$.
Заметим, что $4x^2 - 12x + 9$ это полный квадрат: $(2x - 3)^2$.
Итак, неравенство принимает вид $(2x - 3)^2 > 0$.
Квадрат числа всегда неотрицателен. Он равен нулю, когда $2x - 3 = 0$, то есть $2x = 3$, $x = 1.5$.
Для всех остальных значений $x$ квадрат будет строго больше нуля.
**Ответ: $(-\infty; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$ или $x \ne 1.5$**
е) Решим неравенство $-9x^2 < 1 - 6x$.
Перенесем все члены в правую часть:
$$0 < 9x^2 - 6x + 1$$
Или $9x^2 - 6x + 1 > 0$.
Заметим, что $9x^2 - 6x + 1$ это полный квадрат: $(3x - 1)^2$.
Итак, неравенство принимает вид $(3x - 1)^2 > 0$.
Квадрат числа всегда неотрицателен. Он равен нулю, когда $3x - 1 = 0$, то есть $3x = 1$, $x = \frac{1}{3}$.
Для всех остальных значений $x$ квадрат будет строго больше нуля.
**Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$ или $x \ne \frac{1}{3}$**
