1. Сторона треугольника равна 5 см, а высота, проведенная к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника.

1. Сторона треугольника равна $5 \text{ см}$, а высота, проведённая к ней, в два раза больше стороны. Найдите площадь треугольника. Дано: $a = 5 \text{ см}$ $h_a = 2a$ Найти: $S_{\triangle}$ Решение: Высота $h_a = 2 \times 5 = 10 \text{ см}$. Площадь треугольника вычисляется по формуле: $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times a \times h_a$$ Подставляем значения: $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 5 \text{ см} \times 10 \text{ см} = \frac{1}{2} \times 50 \text{ см}^2 = 25 \text{ см}^2$$ **Ответ: $25 \text{ см}^2$** 2. Катеты прямоугольного треугольника равны $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$. Найдите гипотенузу и площадь треугольника. Дано: $a = 6 \text{ см}$ $b = 8 \text{ см}$ Найти: $c$, $S_{\triangle}$ Решение: Гипотенузу $c$ найдём по теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2$$ $$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$ $$c = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$ Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times a \times b$$ Подставляем значения: $$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 6 \text{ см} \times 8 \text{ см} = \frac{1}{2} \times 48 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2$$ **Ответ: гипотенуза $10 \text{ см}$, площадь $24 \text{ см}^2$** 3. Найдите площадь и периметр ромба, если его диагонали равны $8 \text{ см}$ и $10 \text{ см}$. Дано: $d_1 = 8 \text{ см}$ $d_2 = 10 \text{ см}$ Найти: $S_{ромба}$, $P_{ромба}$ Решение: Площадь ромба вычисляется по формуле: $$S_{ромба} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$$ Подставляем значения: $$S_{ромба} = \frac{1}{2} \times 8 \text{ см} \times 10 \text{ см} = \frac{1}{2} \times 80 \text{ см}^2 = 40 \text{ см}^2$$ Сторона ромба $a$ может быть найдена, если рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей. Диагонали ромба делятся пополам и пересекаются под прямым углом. Катеты этого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. $$\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2$$ $$\left(\frac{8}{2}\right)^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2 = a^2$$ $$4^2 + 5^2 = a^2$$ $$16 + 25 = a^2$$ $$a^2 = 41$$ $$a = \sqrt{41} \text{ см}$$ Периметр ромба вычисляется по формуле: $$P_{ромба} = 4a$$ $$P_{ромба} = 4 \times \sqrt{41} \text{ см} = 4\sqrt{41} \text{ см}$$ **Ответ: площадь $40 \text{ см}^2$, периметр $4\sqrt{41} \text{ см}$** 4. В прямоугольной трапеции $АВСК$ большая боковая сторона равна $3\sqrt{2} \text{ см}$, угол $К$ равен $45^\circ$, а высота $СН$ делит основание $АК$ пополам. Найдите площадь трапеции. Дано: Трапеция $АВСК$ — прямоугольная. Большая боковая сторона $ВС = 3\sqrt{2} \text{ см}$ (ошибка в условии, скорее всего, $CK$ или $AB$ — боковые стороны; если трапеция $АВСК$ и $AK$ основание, то $BC$ — другое основание, а $AB$ или $CK$ — боковые стороны. Допустим, $CK$ — большая боковая сторона, или же это описка и $BC$ — основание. Исходя из угла $К$, скорее всего, $CK$ — боковая сторона, а $АК$ — нижнее основание. Пусть $CK$ — боковая сторона.) $\angle K = 45^\circ$ Высота $CH$ делит основание $AK$ пополам, то есть $АН = НК$. Найдем площадь трапеции. **Допущение: Большая боковая сторона трапеции — $CK$, а $AB$ — высота, так как трапеция прямоугольная. Также допустим, что $BC$ — меньшее основание, а $AK$ — большее.** Рассмотрим прямоугольный треугольник $СНК$. В нём $\angle K = 45^\circ$, значит, $\angle HCK = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, треугольник $СНК$ равнобедренный, и $CH = HK$. По теореме Пифагора для $\triangle CHK$: $CH^2 + HK^2 = CK^2$ $CH^2 + CH^2 = (3\sqrt{2})^2$ $2CH^2 = 9 \times 2$ $2CH^2 = 18$ $CH^2 = 9$ $CH = 3 \text{ см}$ Значит, $HK = CH = 3 \text{ см}$. Так как высота $CH$ делит основание $АК$ пополам, то $AH = HK = 3 \text{ см}$. Следовательно, нижнее основание $AK = AH + HK = 3 + 3 = 6 \text{ см}$. Верхнее основание $BC = AH = 3 \text{ см}$ (так как $ABCH$ — прямоугольник, $BC = AH$). Высота трапеции $h = CH = 3 \text{ см}$. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S_{трапеции} = \frac{BC + AK}{2} \times h$$ $$S_{трапеции} = \frac{3 \text{ см} + 6 \text{ см}}{2} \times 3 \text{ см}$$ $$S_{трапеции} = \frac{9}{2} \times 3 = \frac{27}{2} = 13,5 \text{ см}^2$$ **Ответ: $13,5 \text{ см}^2$**