1.В равнобедренном треугольнике ABC сторона AC является основанием. Угол BAC равен 37°. Найдите угол ВСА.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. $$\angle BCA = \angle BAC = 37^\circ$$ **Ответ: $37^\circ$** 2. В треугольнике ABC стороны AC и BC равны, значит, он равнобедренный. Углы при основании равны. $$\angle B = \angle A = 18^\circ$$ **Ответ: $18^\circ$** 3. В равностороннем треугольнике все углы равны по $60^\circ$. **Ответ: $60^\circ$** 4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$. BN — биссектриса угла B, а в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Значит, N — середина AC. Тогда AN = NC = $\frac{AC}{2}$. AN = NC = $\frac{14}{2} = 7$ см. **Ответ: AN = 7 см, NC = 7 см.** 5. В треугольнике ABC, AC=BC, значит, это равнобедренный треугольник, и углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ABC$. BD — высота, значит, $\angle BDC = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. $$\angle BCD = 180^\circ - \angle CBD - \angle BDC$$ $$\angle BCD = 180^\circ - 50^\circ - 90^\circ = 40^\circ$$ Так как $\angle BCA = \angle BCD$, то $\angle BCA = 40^\circ$. Поскольку $\angle BAC = \angle BCA$, то $\angle BAC = 40^\circ$. Угол ABC найдем из суммы углов треугольника ABC: $$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA$$ $$\angle ABC = 180^\circ - 40^\circ - 40^\circ = 100^\circ$$ **Ответ: $\angle ABC = 100^\circ$, $\angle BAC = 40^\circ$.**