В равнобедренном треугольнике ABC сторона AC является основанием. Угол BAC равен 37°. Найдите угол BCA.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как $AC$ является основанием, то $ \angle BCA = \angle BAC $. Следовательно, $ \angle BCA = 37^\circ $. **Ответ:** $ 37^\circ $. 2. В треугольнике $ABC$ стороны $AC=BC$, значит, треугольник равнобедренный с основанием $AB$. Углы при основании равны, то есть $ \angle BAC = \angle ABC = 18^\circ $. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдем угол $B$: $ \angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (18^\circ + 18^\circ) = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ $. **Ответ:** $ 144^\circ $. 3. В равностороннем треугольнике все углы равны по $60^\circ$. **Ответ:** $ 60^\circ $. 4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ биссектриса $BN$ также является медианой. Значит, $N$ — середина $AC$. $AN = NC = \frac{AC}{2}$. $AN = NC = \frac{14 \text{ см}}{2} = 7 \text{ см}$. **Ответ:** $AN = 7 \text{ см}$, $NC = 7 \text{ см}$. 5. **Допущение:** В задаче, вероятно, есть опечатка, и $AC$ — это основание равнобедренного треугольника $ABC$, то есть $AB=BC$. В этом случае $BD$ — высота, проведенная к $AC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $BD$ — высота, то $BD$ также является медианой. Значит, $AD = DC$. Если $AD = 4 \text{ см}$, то $DC = 4 \text{ см}$. Тогда $AC = AD + DC = 4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCD$ (так как $BD$ — высота). $ \angle CBD = 50^\circ $. $ \angle BCD = 90^\circ - \angle CBD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ $. Так как $ \triangle ABC $ равнобедренный с основанием $AC$, то $ \angle BAC = \angle BCD = 40^\circ $. Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^\circ$. $ \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCD) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ $. **Ответ:** $ \angle ABC = 100^\circ $, $ AC = 8 \text{ см}$.