Решите уравнения

1) $$ (\frac{1}{27})^{0.5x-1} = 9 $$ Представим числа в виде степени с основанием 3: $$ (3^{-3})^{0.5x-1} = 3^2 $$ $$ 3^{-3(0.5x-1)} = 3^2 $$ Приравниваем показатели: $$ -3(0.5x-1) = 2 $$ $$ -1.5x + 3 = 2 $$ $$ -1.5x = 2 - 3 $$ $$ -1.5x = -1 $$ $$ x = \frac{-1}{-1.5} $$ $$ x = \frac{1}{1.5} $$ $$ x = \frac{10}{15} $$ $$ x = \frac{2}{3} $$ **Ответ: $x = \frac{2}{3}$** 2) $$ (\frac{3}{7})^{3-2x} = (\frac{49}{9})^{-3+5x} $$ Представим правую часть с основанием $\frac{3}{7}$: $$ (\frac{3}{7})^{3-2x} = ((\frac{7}{3})^2)^{-3+5x} $$ $$ (\frac{3}{7})^{3-2x} = ((\frac{3}{7})^{-2})^{-3+5x} $$ $$ (\frac{3}{7})^{3-2x} = (\frac{3}{7})^{-2(-3+5x)} $$ Приравниваем показатели: $$ 3-2x = -2(-3+5x) $$ $$ 3-2x = 6-10x $$ $$ -2x + 10x = 6 - 3 $$ $$ 8x = 3 $$ $$ x = \frac{3}{8} $$ **Ответ: $x = \frac{3}{8}$** 3) $$ (\frac{28}{5})^{28x^2-5} = (\frac{5}{28})^{5x^2-127} $$ Представим правую часть с основанием $\frac{28}{5}$: $$ (\frac{28}{5})^{28x^2-5} = ((\frac{28}{5})^{-1})^{5x^2-127} $$ $$ (\frac{28}{5})^{28x^2-5} = (\frac{28}{5})^{-(5x^2-127)} $$ Приравниваем показатели: $$ 28x^2-5 = -(5x^2-127) $$ $$ 28x^2-5 = -5x^2+127 $$ $$ 28x^2 + 5x^2 = 127 + 5 $$ $$ 33x^2 = 132 $$ $$ x^2 = \frac{132}{33} $$ $$ x^2 = 4 $$ $$ x = \pm\sqrt{4} $$ $$ x = \pm 2 $$ **Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$** 4) $$ 3^{x+2} - 3^x = 216 $$ Вынесем $3^x$ за скобки: $$ 3^x \cdot 3^2 - 3^x = 216 $$ $$ 3^x (3^2 - 1) = 216 $$ $$ 3^x (9 - 1) = 216 $$ $$ 3^x \cdot 8 = 216 $$ $$ 3^x = \frac{216}{8} $$ $$ 3^x = 27 $$ Представим 27 как $3^3$: $$ 3^x = 3^3 $$ Приравниваем показатели: $$ x = 3 $$ **Ответ: $x = 3$** 5) $$ 2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^{x+3} = 650 $$ Вынесем $6^x$ за скобки: $$ 2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^x \cdot 6^3 = 650 $$ $$ 6^x (2 + 3 \cdot 6^3) = 650 $$ $$ 6^x (2 + 3 \cdot 216) = 650 $$ $$ 6^x (2 + 648) = 650 $$ $$ 6^x (650) = 650 $$ Разделим обе части на 650: $$ 6^x = 1 $$ Представим 1 как $6^0$: $$ 6^x = 6^0 $$ Приравниваем показатели: $$ x = 0 $$ **Ответ: $x = 0$** 6) $$ 3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 = 0 $$ Это квадратное уравнение относительно $3^x$. Пусть $y = 3^x$. Тогда $3^{2x} = (3^x)^2 = y^2$. $$ y^2 - 2y - 3 = 0 $$ Решаем квадратное уравнение: Находим дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$. $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2(1)} $$ $$ y = \frac{2 \pm 4}{2} $$ Два возможных значения для $y$: $$ y_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$ Возвращаемся к замене $y = 3^x$: Случай 1: $3^x = 3$ $$ 3^x = 3^1 $$ $$ x = 1 $$ Случай 2: $3^x = -1$ Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция $3^x$ всегда положительна. **Ответ: $x = 1$**