Решите уравнение 1) $(\frac{1}{27})^{0.5x-1} = 9$

1) $(\frac{1}{27})^{0.5x-1} = 9$ Преобразуем числа к основанию 3: $(3^{-3})^{0.5x-1} = 3^2$ При возведении степени в степень показатели умножаются: $3^{-3(0.5x-1)} = 3^2$ $-3(0.5x-1) = 2$ $-1.5x + 3 = 2$ $-1.5x = 2 - 3$ $-1.5x = -1$ $x = \frac{-1}{-1.5}$ $x = \frac{1}{1.5}$ $x = \frac{10}{15}$ $x = \frac{2}{3}$ **Ответ:** $x = \frac{2}{3}$ 2) $(\frac{3}{7})^{3-2x} = (\frac{49}{9})^{-3+5x}$ Преобразуем правую часть уравнения к основанию $\frac{3}{7}$: $(\frac{49}{9}) = (\frac{7}{3})^2 = ((\frac{3}{7})^{-1})^2 = (\frac{3}{7})^{-2}$ Тогда уравнение примет вид: $(\frac{3}{7})^{3-2x} = ((\frac{3}{7})^{-2})^{-3+5x}$ $(\frac{3}{7})^{3-2x} = (\frac{3}{7})^{-2(-3+5x)}$ Приравниваем показатели: $3-2x = -2(-3+5x)$ $3-2x = 6 - 10x$ $-2x + 10x = 6 - 3$ $8x = 3$ $x = \frac{3}{8}$ **Ответ:** $x = \frac{3}{8}$ 3) $(\frac{28}{5})^{28x^2-5} = (\frac{5}{28})^{5x^2-127}$ Заметим, что $(\frac{5}{28}) = (\frac{28}{5})^{-1}$. Тогда уравнение: $(\frac{28}{5})^{28x^2-5} = ((\frac{28}{5})^{-1})^{5x^2-127}$ $(\frac{28}{5})^{28x^2-5} = (\frac{28}{5})^{-(5x^2-127)}$ Приравниваем показатели: $28x^2 - 5 = -(5x^2 - 127)$ $28x^2 - 5 = -5x^2 + 127$ $28x^2 + 5x^2 = 127 + 5$ $33x^2 = 132$ $x^2 = \frac{132}{33}$ $x^2 = 4$ $x = \pm\sqrt{4}$ $x = \pm 2$ **Ответ:** $x_1 = 2$, $x_2 = -2$ 4) $3^{x+2} - 3^x = 216$ Разложим $3^{x+2}$ как $3^x \cdot 3^2$: $3^x \cdot 3^2 - 3^x = 216$ $9 \cdot 3^x - 3^x = 216$ Вынесем $3^x$ за скобки: $3^x (9 - 1) = 216$ $3^x \cdot 8 = 216$ $3^x = \frac{216}{8}$ $3^x = 27$ $3^x = 3^3$ $x = 3$ **Ответ:** $x = 3$ 5) $2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^{x+3} = 650$ Разложим $6^{x+3}$ как $6^x \cdot 6^3$: $2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^x \cdot 6^3 = 650$ $2 \cdot 6^x + 3 \cdot 6^x \cdot 216 = 650$ $2 \cdot 6^x + 648 \cdot 6^x = 650$ Вынесем $6^x$ за скобки: $6^x (2 + 648) = 650$ $6^x \cdot 650 = 650$ $6^x = \frac{650}{650}$ $6^x = 1$ Любое число в нулевой степени равно 1: $6^x = 6^0$ $x = 0$ **Ответ:** $x = 0$ 6) $3^{2x} - 2 \cdot 3^x - 3 = 0$ Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$. Введем замену $y = 3^x$. Тогда уравнение примет вид квадратного: $y^2 - 2y - 3 = 0$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$ $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Вернемся к замене $y = 3^x$: Для $y_1 = 3$: $3^x = 3$ $3^x = 3^1$ $x = 1$ Для $y_2 = -1$: $3^x = -1$ Это уравнение не имеет решений, так как показательная функция всегда принимает только положительные значения. **Ответ:** $x = 1$