Решите уравнение $(2\sqrt{3}/4)^x = 8$

3. $(2\sqrt{3}/4)^x = 8$ Допущение: выражение $(2\sqrt{3}/4)$ можно упростить до $(\sqrt{3}/2)$. Иначе решить невозможно. $(\frac{\sqrt{3}}{2})^x = 2^3$ Это уравнение решить нельзя, так как основания степеней $(\frac{\sqrt{3}}{2})$ и $2$ нельзя привести к одинаковому основанию. 5. $(\frac{2}{5})^x = (\frac{4}{9})^{\frac{x}{2}}$ $(\frac{2}{5})^x = ((\frac{2}{3})^2)^{\frac{x}{2}}$ $(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{3})^x$ Для того чтобы это равенство было верным, основания должны быть равны или показатель степени $x$ должен быть равен $0$. Так как $\frac{2}{5} \neq \frac{2}{3}$, то $x = 0$. **Ответ: $x=0$** 7. $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$ Заменим $3^x$ на $y$. Тогда $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = y^2$. $y^2 - 10y + 9 = 0$ Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64$ $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Теперь вернемся к замене $3^x = y$: 1) $3^x = 9$ $3^x = 3^2$ $x = 2$ 2) $3^x = 1$ $3^x = 3^0$ $x = 0$ **Ответ: $x_1=2, x_2=0$** 9. $3\sqrt{(x+1)^2} = 3$ Разделим обе части на 3: $\sqrt{(x+1)^2} = 1$ Модуль числа под корнем равен самому числу, поэтому: $|x+1| = 1$ Это означает, что $x+1$ может быть равно $1$ или $-1$. 1) $x+1 = 1$ $x = 1 - 1$ $x = 0$ 2) $x+1 = -1$ $x = -1 - 1$ $x = -2$ **Ответ: $x_1=0, x_2=-2$** 11. $3 \cdot 4^x - 11 \cdot 2^x = 4$ Перенесем 4 в левую часть и приведем уравнение к виду с одним основанием: $3 \cdot (2^2)^x - 11 \cdot 2^x - 4 = 0$ $3 \cdot (2^x)^2 - 11 \cdot 2^x - 4 = 0$ Заменим $2^x$ на $y$. Тогда $y > 0$. $3y^2 - 11y - 4 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$ $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 13}{6} = \frac{24}{6} = 4$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 13}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ Теперь вернемся к замене $2^x = y$. Мы знаем, что $y > 0$. 1) $2^x = 4$ $2^x = 2^2$ $x = 2$ 2) $2^x = -\frac{1}{3}$ Это уравнение не имеет решений, так как $2^x$ всегда положительно. **Ответ: $x=2$**