В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна 9 см. Найдите гипотенузу треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. По условию, медиана равна 9 см. Значит, гипотенуза будет в 2 раза больше. $$Гипотенуза = 2 \cdot Медиана = 2 \cdot 9 \text{ см} = 18 \text{ см}$$ **Ответ: 18 см** 2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. По условию, гипотенуза равна 14 см. Значит, медиана будет в 2 раза меньше. $$Медиана = \frac{Гипотенуза}{2} = \frac{14 \text{ см}}{2} = 7 \text{ см}$$ **Ответ: 7 см** 3. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ с прямым углом $C$, $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть $CM = AM = MB$. Значит, $\triangle BCM$ — равнобедренный, так как $CM = MB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BCM = \angle B$. По условию, $\angle B = 54^\circ$. Следовательно, $\angle BCM = 54^\circ$. **Ответ: 54°** 4. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ с прямым углом $C$, $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть $CM = AM = MB$. Отсюда $AB = 2 \cdot CM$. По условию, $CM = 12,5$ см. Значит, $AB = 2 \cdot 12,5 \text{ см} = 25 \text{ см}$. Для нахождения периметра треугольника $\triangle ABC$ нужно знать длины всех сторон: $AC$, $BC$ и $AB$. По условию, $AC = 24$ см, $BC = 7$ см. Периметр $\triangle ABC = AC + BC + AB$. $$Периметр = 24 \text{ см} + 7 \text{ см} + 25 \text{ см} = 56 \text{ см}$$ **Ответ: 56 см** 5. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$, $M$ — середина стороны $AB$, значит $CM$ — медиана, проведенная к гипотенузе $AB$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. По условию, $AB = 20$ см, $BC = 10$ см. Для нахождения $CM$ сначала нужно найти $AC$ или понять, что $CM$ равно половине гипотенузы $AB$. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть $CM = \frac{1}{2} AB$. По условию, $AB = 20$ см. $$CM = \frac{20 \text{ см}}{2} = 10 \text{ см}$$ **Ответ: 10 см** 6. В треугольнике $ABC$, $BM$ — медиана, это значит, что $M$ — середина стороны $AC$. Если $M$ — середина $AC$, то $AM = MC = \frac{1}{2} AC$. По условию, $AC = 14$ см. $$AM = \frac{14 \text{ см}}{2} = 7 \text{ см}$$ Информация о длине медианы $BM = 10$ см не нужна для нахождения $AM$ при известных данных. **Ответ: 7 см**