На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу $\sqrt{76}$. Какая это точка?

7. На координатной прямой отмечены точки A, B, C, D. Одна из них соответствует числу $\sqrt{76}$. Какая это точка? Чтобы определить, какой точке соответствует число $\sqrt{76}$, сначала нужно оценить это число: Мы знаем, что: $8^2 = 64$ $9^2 = 81$ Так как $64 < 76 < 81$, то $\sqrt{64} < \sqrt{76} < \sqrt{81}$. Следовательно, $8 < \sqrt{76} < 9$. Чтобы точнее определить, к какой точке ближе $\sqrt{76}$, можно заметить, что 76 находится ближе к 81, чем к 64. $76 - 64 = 12$ $81 - 76 = 5$ Значит, $\sqrt{76}$ ближе к 9, чем к 8. На координатной прямой точки расположены следующим образом: Точка A находится после 8, но до 9. Точка B находится после 8, но до 9. Точка C находится после 9, но до 10. Точка D находится после 9, но до 10. Таким образом, $\sqrt{76}$ находится между 8 и 9. Из предложенных вариантов точка B расположена на координатной прямой ближе к 9, чем точка A. Так как $\sqrt{76}$ ближе к 9, то это точка B. **Ответ: 2) точка B** 8. Найдите значение выражения $2^{7} / 9^{10}$ Допущение: Задание некорректно, так как числа 2 и 9 не связаны степенями для упрощения. Скорее всего, должно быть $27^7 / 9^{10}$. Решим, исходя из этого допущения. $$ \frac{27^7}{9^{10}} = \frac{(3^3)^7}{(3^2)^{10}} = \frac{3^{3 \cdot 7}}{3^{2 \cdot 10}} = \frac{3^{21}}{3^{20}} = 3^{21-20} = 3^1 = 3 $$ **Ответ: 3** 9. Решите уравнение $x^2 + 6x = 16$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней. Перенесем 16 в левую часть уравнения: $$ x^2 + 6x - 16 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта. $a=1$, $b=6$, $c=-16$ $$ D = b^2 - 4ac $$ $$ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 $$ $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8 $$ Меньший из корней равен -8. **Ответ: -8** 10. В лыжных гонках участвуют 9 спортсменов из России, 5 спортсменов из Сербии и 6 спортсменов из Китая. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Китая. Общее количество спортсменов: $$ 9 (Россия) + 5 (Сербия) + 6 (Китай) = 20 \text{ спортсменов} $$ Количество спортсменов из Китая: 6. Вероятность того, что первым стартует спортсмен из Китая, равна отношению количества спортсменов из Китая к общему количеству спортсменов: $$ P = \frac{\text{Количество спортсменов из Китая}}{\text{Общее количество спортсменов}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0.3 $$ **Ответ: 0.3** 11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Рассмотрим графики и формулы: **Графики:** А) Парабола ветвями вверх, вершина в точке $(2, -1)$. Б) Парабола ветвями вниз, вершина в точке $(2, 1)$. В) Парабола ветвями вверх, вершина в точке $(-2, -1)$. **Формулы:** 1) $y = x^2 - 5x + 3$ Это парабола ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный). Вершина параболы $x_v = -b/(2a)$. $x_v = -(-5)/(2 \cdot 1) = 5/2 = 2.5$ $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 3 = 6.25 - 12.5 + 3 = -3.25$ Вершина $(2.5, -3.25)$. 2) $y = -x^2 + 5x - 3$ Это парабола ветвями вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Вершина параболы $x_v = -b/(2a)$. $x_v = -5/(2 \cdot (-1)) = 5/2 = 2.5$ $y_v = -(2.5)^2 + 5(2.5) - 3 = -6.25 + 12.5 - 3 = 3.25$ Вершина $(2.5, 3.25)$. 3) $y = x^2 + 4x + 3$ Это парабола ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ положительный). Вершина параболы $x_v = -b/(2a)$. $x_v = -4/(2 \cdot 1) = -2$ $y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ Вершина $(-2, -1)$. **Соответствие:** График А) имеет вершину $(2, -1)$ и ветви вверх. Ни одна из формул не подходит точно под этот график. График Б) имеет вершину $(2, 1)$ и ветви вниз. Ни одна из формул не подходит точно под этот график. График В) имеет вершину $(-2, -1)$ и ветви вверх. Это соответствует формуле 3: $y = x^2 + 4x + 3$. Допущение: Из-за нечёткого изображения осей координат и делений, а также из-за того, что ни одна из формул 1 и 2 не соответствует графикам А и Б в точности, будем полагать, что задание предусматривает прямое сопоставление, где только один из графиков и формул явно совпадают. Проверим внимательнее графики: График А: Вершина около (2; -1). Ветви вверх. График Б: Вершина около (2; 1). Ветви вниз. График В: Вершина около (-2; -1). Ветви вверх. Сравним с формулами: 1) $y = x^2 - 5x + 3$. Вершина $(2.5; -3.25)$, ветви вверх. 2) $y = -x^2 + 5x - 3$. Вершина $(2.5; 3.25)$, ветви вниз. 3) $y = x^2 + 4x + 3$. Вершина $(-2; -1)$, ветви вверх. Таким образом, график В) соответствует формуле 3). Графики А) и Б) не имеют точных совпадений среди данных формул из-за различий в координатах вершин. Если требуется сопоставить все три графика с тремя формулами, возможно, есть ошибка в изображении графиков или формул. Если же речь о лучшем соответствии, то: График А похож на формулу 1, но вершина сдвинута. ($x_v=2.5$ вместо 2) График Б похож на формулу 2, но вершина сдвинута. ($x_v=2.5$ вместо 2) График В точно соответствует формуле 3. Так как дано три графика и три формулы, и график В однозначно соответствует формуле 3, попробуем перепроверить графики А и Б. Если приглядеться, то точки пересечения с осью Y для графика А это $(0;3)$, что соответствует $x^2 - 5x + 3$, т.к. при $x=0$, $y=3$. Точки пересечения с осью Y для графика Б это $(0;-3)$, что соответствует $-x^2 + 5x - 3$, т.к. при $x=0$, $y=-3$. Это означает, что несмотря на небольшую неточность в изображении вершины, соответствие все же есть. Итак: А) $y = x^2 - 5x + 3$ Б) $y = -x^2 + 5x - 3$ В) $y = x^2 + 4x + 3$ **Ответ:** **А - 1** **Б - 2** **В - 3**