Найдите расстояние от точки P до вершины B в равнобедренном треугольнике ABC, если медианы AM и BK пересекаются в точке P, AB = BC = 15, AC = 24.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ медиана $BK$ является также высотой и биссектрисой. Точка $K$ — середина стороны $AC$, значит $AK = KC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, $BP:PK = 2:1$. То есть $BP = 2PK$. Чтобы найти $BP$, нам нужно найти длину медианы $BK$. Так как $BK$ — высота, то треугольник $BKC$ — прямоугольный с прямым углом при $K$. Мы можем найти $BK$ по теореме Пифагора: $$BC^2 = BK^2 + KC^2$$ $$15^2 = BK^2 + 12^2$$ $$225 = BK^2 + 144$$ $$BK^2 = 225 - 144$$ $$BK^2 = 81$$ $$BK = \sqrt{81} = 9$$ Теперь, зная, что $BK = 9$ и $BP:PK = 2:1$, мы можем найти $BP$: $$BP = \frac{2}{3} BK$$ $$BP = \frac{2}{3} \cdot 9$$ $$BP = 6$$ **Ответ:** 6