Решите уравнение $36^x = (\frac{1}{216})^{2-x}$

13) $36^x = \left(\frac{1}{216}\right)^{2-x}$ Сначала представим основания как степени числа 6: $36 = 6^2$ $216 = 6^3$ Подставим это в уравнение: $(6^2)^x = (6^{-3})^{2-x}$ Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $6^{2x} = 6^{-3(2-x)}$ Приравняем показатели, так как основания равны: $2x = -3(2-x)$ Раскроем скобки: $2x = -6 + 3x$ Перенесём $3x$ в левую часть, а $-6$ в правую: $2x - 3x = -6$ $-x = -6$ Разделим обе части на $-1$: $x = 6$ **Ответ:** $x=6$ 14) $5^{x^2-2x} = 6^{x^2-2x}$ Поскольку основания $5$ и $6$ разные, а равенство возможно только если показатели степени равны нулю. Это потому, что любое число в степени 0 равно 1 (кроме 0 в степени 0, но здесь у нас 5 и 6). То есть: $x^2 - 2x = 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 2) = 0$ Приравняем каждый множитель к нулю: $x = 0$ или $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ **Ответ:** $x=0, x=2$ 15) $3^{x-1} = 6^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}$ Разложим $6^x$ как $(2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$: $3^{x-1} = 2^x \cdot 3^x \cdot 2^{-x} \cdot 3^{x+1}$ Перегруппируем множители: $3^{x-1} = (2^x \cdot 2^{-x}) \cdot (3^x \cdot 3^{x+1})$ Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $3^{x-1} = 2^{x-x} \cdot 3^{x+(x+1)}$ $3^{x-1} = 2^0 \cdot 3^{2x+1}$ Так как $2^0 = 1$: $3^{x-1} = 1 \cdot 3^{2x+1}$ $3^{x-1} = 3^{2x+1}$ Приравняем показатели, так как основания равны: $x-1 = 2x+1$ Перенесём $x$ в правую часть, а $1$ в левую: $-1 - 1 = 2x - x$ $-2 = x$ **Ответ:** $x=-2$