Найти сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, если сумма 4-го, 8-го, 12-го и 16-го членов равна 224.

Question

Вопрос:

Найти сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, если сумма 4-го, 8-го, 12-го и 16-го членов равна 224.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть арифметическая прогрессия имеет вид $a_1, a_2, ..., a_n, ...$ с разностью $d$. Каждый член прогрессии можно записать как $a_n = a_1 + (n-1)d$. По условию, сумма 4-го, 8-го, 12-го и 16-го членов равна 224: $$a_4 + a_8 + a_{12} + a_{16} = 224$$ Подставим выражения для членов прогрессии: $$(a_1 + (4-1)d) + (a_1 + (8-1)d) + (a_1 + (12-1)d) + (a_1 + (16-1)d) = 224$$ $$(a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 11d) + (a_1 + 15d) = 224$$ Сгруппируем $a_1$ и $d$: $$4a_1 + (3+7+11+15)d = 224$$ $$4a_1 + 36d = 224$$ Разделим всё уравнение на 4: $$a_1 + 9d = 56$$ Теперь нам нужно найти сумму первых 19 членов арифметической прогрессии $S_{19}$. Формула суммы $n$ первых членов: $$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$ Для $n=19$: $$S_{19} = \frac{19}{2}(2a_1 + (19-1)d)$$ $$S_{19} = \frac{19}{2}(2a_1 + 18d)$$ Вынесем 2 из скобок: $$S_{19} = \frac{19}{2} \cdot 2(a_1 + 9d)$$ $$S_{19} = 19(a_1 + 9d)$$ Мы уже нашли, что $a_1 + 9d = 56$. Подставим это значение: $$S_{19} = 19 \cdot 56$$ Вычислим произведение: $$19 \cdot 56 = 1064$$ **Ответ: 1064**

Найти сумму первых 19 членов арифметической прогрессии, если сумма 4-го, 8-го, 12-го и 16-го членов равна 224.

Ответ ассистента

Другие решения