Вычислить значение выражения $\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{(-9)^9}$

1) Вычислить значение выражения: $$ \frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{(-9)^9} $$ Сначала упростим числитель, вынесем общий множитель $3^{19}$: $$ 2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19} = 2 \cdot 3 \cdot 3^{19} - 5 \cdot 3^{19} = 6 \cdot 3^{19} - 5 \cdot 3^{19} = (6-5) \cdot 3^{19} = 1 \cdot 3^{19} = 3^{19} $$ Теперь упростим знаменатель: $$ (-9)^9 = -(9^9) = -( (3^2)^9 ) = -(3^{18}) $$ Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение: $$ \frac{3^{19}}{-(3^{18})} = -\frac{3^{19}}{3^{18}} = -3^{19-18} = -3^1 = -3 $$ **Ответ: -3** 2) Упростить выражение: $$ (4^{-1})^2 \cdot 2^5 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^3 \cdot (8^{-2})^5 \cdot (64^2)^3 $$ Представим все числа как степени двойки: $$ 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2} $$ $$ \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4} $$ $$ 8 = 2^3 $$ $$ 64 = 2^6 $$ Подставляем в выражение: $$ (2^{-2})^2 \cdot 2^5 \cdot (2^{-4})^3 \cdot ((2^3)^{-2})^5 \cdot ((2^6)^2)^3 $$ Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ 2^{-4} \cdot 2^5 \cdot 2^{-12} \cdot (2^{-6})^5 \cdot (2^{12})^3 $$ $$ 2^{-4} \cdot 2^5 \cdot 2^{-12} \cdot 2^{-30} \cdot 2^{36} $$ Теперь сложим показатели степеней: $$ 2^{-4+5-12-30+36} = 2^{1-12-30+36} = 2^{-11-30+36} = 2^{-41+36} = 2^{-5} $$ $$ 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $$ **Ответ: $\frac{1}{32}$** 3) Решить уравнение: $$ (0,5)^x = \frac{1}{64} $$ Переведем 0,5 в дробь и представим правую часть как степень двойки: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2^6} $$ $$ 2^{-x} = 2^{-6} $$ Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ -x = -6 $$ $$ x = 6 $$ **Ответ: $x=6$** 4) Решить уравнение: $$ \sqrt[3]{128} = 4^{2x} $$ Представим числа 128 и 4 как степени двойки: $$ 128 = 2^7 $$ $$ 4 = 2^2 $$ Подставим в уравнение: $$ \sqrt[3]{2^7} = (2^2)^{2x} $$ Используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ 2^{\frac{7}{3}} = 2^{4x} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ \frac{7}{3} = 4x $$ Чтобы найти $x$, разделим обе части на 4: $$ x = \frac{7}{3 \cdot 4} $$ $$ x = \frac{7}{12} $$ **Ответ: $x=\frac{7}{12}$** 5) Решить уравнение: $$ 3^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{x-3} = \left(\frac{1}{27}\right)^x $$ Преобразуем все члены уравнения к основанию 3: $$ 3^x \cdot (3^{-1})^{x-3} = (3^{-3})^x $$ Применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $$ 3^x \cdot 3^{-(x-3)} = 3^{-3x} $$ $$ 3^x \cdot 3^{-x+3} = 3^{-3x} $$ Применяем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ 3^{x + (-x+3)} = 3^{-3x} $$ $$ 3^{x-x+3} = 3^{-3x} $$ $$ 3^3 = 3^{-3x} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 3 = -3x $$ $$ x = \frac{3}{-3} $$ $$ x = -1 $$ **Ответ: $x=-1$** 6) Решить уравнение: $$ 5^{2x+1} - 3 \cdot 5^{2x-1} = 550 $$ Вынесем общий множитель $5^{2x-1}$: $$ 5^{2x-1} \cdot 5^2 - 3 \cdot 5^{2x-1} = 550 $$ $$ 5^{2x-1} \cdot (5^2 - 3) = 550 $$ $$ 5^{2x-1} \cdot (25 - 3) = 550 $$ $$ 5^{2x-1} \cdot 22 = 550 $$ Разделим обе части на 22: $$ 5^{2x-1} = \frac{550}{22} $$ $$ 5^{2x-1} = 25 $$ Представим 25 как степень 5: $$ 5^{2x-1} = 5^2 $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 2x - 1 = 2 $$ Прибавим 1 к обеим частям: $$ 2x = 3 $$ Разделим на 2: $$ x = \frac{3}{2} $$ $$ x = 1,5 $$ **Ответ: $x=1,5$** 7) Решить неравенство: $$ 2^{4x} < 16 $$ Представим 16 как степень двойки: $$ 2^{4x} < 2^4 $$ Так как основание $2 > 1$, то функция $y=2^t$ возрастает, поэтому можно приравнять показатели, сохраняя знак неравенства: $$ 4x < 4 $$ Разделим обе части на 4: $$ x < 1 $$ **Ответ: $x < 1$** 8) Решить неравенство: $$ 3^{\frac{x-5}{2}} \ge 3\sqrt{3} $$ Представим $3\sqrt{3}$ как степень тройки: $$ 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}} $$ Подставим в неравенство: $$ 3^{\frac{x-5}{2}} \ge 3^{\frac{3}{2}} $$ Так как основание $3 > 1$, то функция $y=3^t$ возрастает, поэтому можно приравнять показатели, сохраняя знак неравенства: $$ \frac{x-5}{2} \ge \frac{3}{2} $$ Умножим обе части на 2: $$ x - 5 \ge 3 $$ Прибавим 5 к обеим частям: $$ x \ge 8 $$ **Ответ: $x \ge 8$** 9) Решить неравенство: $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x-3} < 15\frac{5}{8} $$ Преобразуем смешанную дробь в обыкновенную и представим ее как степень $\frac{5}{2}$: $$ 15\frac{5}{8} = \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = \frac{120 + 5}{8} = \frac{125}{8} $$ Заметим, что $125 = 5^3$ и $8 = 2^3$, значит: $$ \frac{125}{8} = \frac{5^3}{2^3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3 $$ Подставим в неравенство: $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x-3} < \left(\frac{5}{2}\right)^3 $$ Так как основание $\frac{5}{2} = 2,5 > 1$, то функция $y=\left(\frac{5}{2}\right)^t$ возрастает, поэтому можно приравнять показатели, сохраняя знак неравенства: $$ 2x - 3 < 3 $$ Прибавим 3 к обеим частям: $$ 2x < 6 $$ Разделим обе части на 2: $$ x < 3 $$ **Ответ: $x < 3$** 10) Решить неравенство: $$ 27 > \left(\frac{1}{3}\right)^{6-x} $$ Представим 27 как степень 3, а $\frac{1}{3}$ как степень 3: $$ 3^3 > (3^{-1})^{6-x} $$ $$ 3^3 > 3^{-(6-x)} $$ $$ 3^3 > 3^{-6+x} $$ Так как основание $3 > 1$, то функция $y=3^t$ возрастает, поэтому можно приравнять показатели, сохраняя знак неравенства: $$ 3 > -6 + x $$ Прибавим 6 к обеим частям: $$ 3 + 6 > x $$ $$ 9 > x $$ Или $x < 9$ **Ответ: $x < 9$** 11) Решить неравенство: $$ 7^x \le 343 $$ Представим 343 как степень 7: $$ 343 = 7^3 $$ Подставим в неравенство: $$ 7^x \le 7^3 $$ Так как основание $7 > 1$, то функция $y=7^t$ возрастает, поэтому можно приравнять показатели, сохраняя знак неравенства: $$ x \le 3 $$ **Ответ: $x \le 3$**