Вычислите значение выражения $\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{(-9)^9}$

1) Вычислим значение выражения: $$ \frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{(-9)^9} = \frac{3^{19} \cdot (2 \cdot 3 - 5)}{-(9^9)} = \frac{3^{19} \cdot (6 - 5)}{-(3^2)^9} = \frac{3^{19} \cdot 1}{-(3^{18})} = -\frac{3^{19}}{3^{18}} = -3^{19-18} = -3^1 = -3 $$ **Ответ: -3** 2) Вычислим значение выражения: $$ (4^{-1})^2 \cdot 2^5 \cdot \left(\frac{1}{16}\right)^3 \cdot (8^{-2})^5 \cdot (64^2)^3 $$ Приведем все к основанию 2: $$ = (2^{(-2)})^2 \cdot 2^5 \cdot (2^{-4})^3 \cdot (2^{-6})^5 \cdot (2^{12})^3 $$ $$ = 2^{-4} \cdot 2^5 \cdot 2^{-12} \cdot 2^{-30} \cdot 2^{36} $$ $$ = 2^{(-4+5-12-30+36)} $$ $$ = 2^{(-46+41)} $$ $$ = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32} $$ **Ответ: $\frac{1}{32}$** 3) Решим уравнение: $$ (0,5)^x = \frac{1}{64} $$ $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2^6} $$ $$ 2^{-x} = 2^{-6} $$ $$ -x = -6 $$ $$ x = 6 $$ **Ответ: 6** 4) Решим уравнение: $$ \sqrt[3]{128} = 4^{2x} $$ $$ (2^7)^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{2x} $$ $$ 2^{\frac{7}{3}} = 2^{4x} $$ $$ \frac{7}{3} = 4x $$ $$ x = \frac{7}{3 \cdot 4} $$ $$ x = \frac{7}{12} $$ **Ответ: $\frac{7}{12}$** 5) Решим уравнение: $$ 3^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{x-3} = \left(\frac{1}{27}\right)^x $$ $$ 3^x \cdot 3^{-(x-3)} = (3^{-3})^x $$ $$ 3^x \cdot 3^{-x+3} = 3^{-3x} $$ $$ 3^{x-x+3} = 3^{-3x} $$ $$ 3^3 = 3^{-3x} $$ $$ 3 = -3x $$ $$ x = -1 $$ **Ответ: -1** 6) Решим уравнение: $$ 5^{2x+1} - 3 \cdot 5^{2x-1} = 550 $$ $$ 5^{2x} \cdot 5^1 - 3 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{-1} = 550 $$ $$ 5^{2x} \left(5 - 3 \cdot \frac{1}{5}\right) = 550 $$ $$ 5^{2x} \left(5 - \frac{3}{5}\right) = 550 $$ $$ 5^{2x} \left(\frac{25-3}{5}\right) = 550 $$ $$ 5^{2x} \left(\frac{22}{5}\right) = 550 $$ $$ 5^{2x} = 550 \cdot \frac{5}{22} $$ $$ 5^{2x} = \frac{2750}{22} $$ $$ 5^{2x} = 125 $$ $$ 5^{2x} = 5^3 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = \frac{3}{2} $$ **Ответ: $\frac{3}{2}$** 7) Решим неравенство: $$ 2^{4x} < 16 $$ $$ 2^{4x} < 2^4 $$ Так как основание больше 1, то знак неравенства сохраняется: $$ 4x < 4 $$ $$ x < 1 $$ **Ответ: $x < 1$** 8) Решим неравенство: $$ 3^{\frac{x-5}{2}} \ge 3\sqrt{3} $$ $$ 3^{\frac{x-5}{2}} \ge 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} $$ $$ 3^{\frac{x-5}{2}} \ge 3^{1 + \frac{1}{2}} $$ $$ 3^{\frac{x-5}{2}} \ge 3^{\frac{3}{2}} $$ Так как основание больше 1, то знак неравенства сохраняется: $$ \frac{x-5}{2} \ge \frac{3}{2} $$ Умножим обе части на 2: $$ x-5 \ge 3 $$ $$ x \ge 3 + 5 $$ $$ x \ge 8 $$ **Ответ: $x \ge 8$** 9) Решим неравенство: $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x-3} < 15\frac{5}{8} $$ $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x-3} < \frac{15 \cdot 8 + 5}{8} $$ $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x-3} < \frac{120 + 5}{8} $$ $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x-3} < \frac{125}{8} $$ $$ \left(\frac{5}{2}\right)^{2x-3} < \left(\frac{5}{2}\right)^3 $$ Так как основание больше 1, то знак неравенства сохраняется: $$ 2x-3 < 3 $$ $$ 2x < 3 + 3 $$ $$ 2x < 6 $$ $$ x < 3 $$ **Ответ: $x < 3$** 10) Решим неравенство: $$ 27 > \left(\frac{1}{3}\right)^{6-x} $$ $$ 3^3 > (3^{-1})^{6-x} $$ $$ 3^3 > 3^{-(6-x)} $$ $$ 3^3 > 3^{-6+x} $$ Так как основание больше 1, то знак неравенства сохраняется: $$ 3 > -6+x $$ $$ 3 + 6 > x $$ $$ 9 > x $$ $$ x < 9 $$ **Ответ: $x < 9$** 11) Решим неравенство: $$ 7^x \le 343 $$ $$ 7^x \le 7^3 $$ Так как основание больше 1, то знак неравенства сохраняется: $$ x \le 3 $$ **Ответ: $x \le 3$**