Решите уравнение: $\frac{x+2}{x-1} + \frac{x-6}{x+2} = 3$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Нам нужно решить уравнение: $$\frac{x+2}{x-1} + \frac{x-6}{x+2} = 3$$ Сначала найдём общий знаменатель. Общий знаменатель будет произведением $(x-1)(x+2)$. Приведём дроби к общему знаменателю: $$\frac{(x+2)(x+2)}{(x-1)(x+2)} + \frac{(x-6)(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 3$$ Запишем всё под общей дробью: $$\frac{(x+2)^2 + (x-6)(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 3$$ Раскроем скобки в числителе: $$(x^2 + 4x + 4) + (x^2 - x - 6x + 6) = 3(x-1)(x+2)$$ $$x^2 + 4x + 4 + x^2 - 7x + 6 = 3(x^2 + 2x - x - 2)$$ $$2x^2 - 3x + 10 = 3(x^2 + x - 2)$$ $$2x^2 - 3x + 10 = 3x^2 + 3x - 6$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$3x^2 + 3x - 6 - 2x^2 + 3x - 10 = 0$$ $$x^2 + 6x - 16 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $$D = b^2 - 4ac$$ Здесь $a=1$, $b=6$, $c=-16$. $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)$$ $$D = 36 + 64$$ $$D = 100$$ Найдём корни уравнения: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$ Теперь проверим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю: $$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$ $$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$$ Оба найденных корня ($2$ и $-8$) удовлетворяют ОДЗ. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -8$. В ответе нужно указать больший из них. $2 > -8$. **Ответ:** $x = 2$