Решите уравнение $(x-9)(x^2+16x+64) = -52(x+8)$

20. Решите уравнение $(x-9)(x^2+16x+64) = -52(x+8)$ Заметим, что $x^2+16x+64$ это квадрат суммы $(x+8)^2$. Тогда уравнение примет вид: $$(x-9)(x+8)^2 = -52(x+8)$$ Перенесем все в левую часть: $$(x-9)(x+8)^2 + 52(x+8) = 0$$ Вынесем общий множитель $(x+8)$: $$(x+8)((x-9)(x+8) + 52) = 0$$ Раскроем скобки внутри второй части: $$(x+8)(x^2 + 8x - 9x - 72 + 52) = 0$$ $$(x+8)(x^2 - x - 20) = 0$$ Получили два случая: Случай 1: $x+8=0$ $$x = -8$$ Случай 2: $x^2 - x - 20 = 0$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ **Ответ: -8; -4; 5** 21. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 44 км/ч, а вторую половину пути – со скоростью, на 21 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Пусть $S$ — это весь путь от A до B, а $v$ — скорость первого автомобиля (в км/ч). Тогда время, за которое первый автомобиль проехал весь путь, равно: $$t_1 = \frac{S}{v}$$ Второй автомобиль проехал первую половину пути ($$\frac{S}{2}$$) со скоростью 44 км/ч. Время на первую половину пути: $$t_{2_1} = \frac{S/2}{44} = \frac{S}{88}$$ Вторую половину пути ($$\frac{S}{2}$$) второй автомобиль проехал со скоростью, на 21 км/ч большей скорости первого. То есть со скоростью $(v+21)$ км/ч. Время на вторую половину пути: $$t_{2_2} = \frac{S/2}{v+21} = \frac{S}{2(v+21)}$$ Общее время второго автомобиля в пути равно: $$t_2 = t_{2_1} + t_{2_2} = \frac{S}{88} + \frac{S}{2(v+21)}$$ По условию, автомобили прибыли одновременно, то есть $t_1 = t_2$: $$\frac{S}{v} = \frac{S}{88} + \frac{S}{2(v+21)}$$ Поскольку $S \neq 0$, мы можем разделить все члены уравнения на $S$: $$\frac{1}{v} = \frac{1}{88} + \frac{1}{2(v+21)}$$ Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель $88v(v+21)$. $$\frac{88(v+21)}{88v(v+21)} = \frac{v(v+21)}{88v(v+21)} + \frac{44v}{88v(v+21)}$$ Умножим обе части уравнения на $88v(v+21)$: $$88(v+21) = v(v+21) + 44v$$ Раскроем скобки: $$88v + 88 \cdot 21 = v^2 + 21v + 44v$$ $$88v + 1848 = v^2 + 65v$$ Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$0 = v^2 + 65v - 88v - 1848$$ $$0 = v^2 - 23v - 1848$$ Найдем корни квадратного уравнения $v^2 - 23v - 1848 = 0$ с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1848)$$ $$D = 529 + 7392$$ $$D = 7921$$ Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{7921} = 89$. $$v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$v_1 = \frac{23 + 89}{2} = \frac{112}{2} = 56$$ $$v_2 = \frac{23 - 89}{2} = \frac{-66}{2} = -33$$ Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v = 56$ км/ч. **Ответ: 56**