Преобразуйте в многочлен выражение: 1) $(a+1)(a-2)(a-3)$

Чтобы преобразовать выражение в многочлен, нужно последовательно перемножить все скобки, а затем привести подобные слагаемые. 1) $(a+1)(a-2)(a-3)$ Сначала перемножим первые две скобки: $(a+1)(a-2) = a^2 - 2a + a - 2 = a^2 - a - 2$ Теперь умножим полученный результат на последнюю скобку: $(a^2 - a - 2)(a-3) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot (-3) - a \cdot a - a \cdot (-3) - 2 \cdot a - 2 \cdot (-3) = a^3 - 3a^2 - a^2 + 3a - 2a + 6$ Приводим подобные слагаемые: $a^3 + (-3a^2 - a^2) + (3a - 2a) + 6 = a^3 - 4a^2 + a + 6$ **Ответ:** $a^3 - 4a^2 + a + 6$ 2) $(3a-2)(a+3)(a-7)$ Сначала перемножим первые две скобки: $(3a-2)(a+3) = 3a \cdot a + 3a \cdot 3 - 2 \cdot a - 2 \cdot 3 = 3a^2 + 9a - 2a - 6 = 3a^2 + 7a - 6$ Теперь умножим полученный результат на последнюю скобку: $(3a^2 + 7a - 6)(a-7) = 3a^2 \cdot a + 3a^2 \cdot (-7) + 7a \cdot a + 7a \cdot (-7) - 6 \cdot a - 6 \cdot (-7) = 3a^3 - 21a^2 + 7a^2 - 49a - 6a + 42$ Приводим подобные слагаемые: $3a^3 + (-21a^2 + 7a^2) + (-49a - 6a) + 42 = 3a^3 - 14a^2 - 55a + 42$ **Ответ:** $3a^3 - 14a^2 - 55a + 42$ 3) $(a^2-2a+1)(a^2+3a-2)$ Перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки: $(a^2-2a+1)(a^2+3a-2) = a^2(a^2+3a-2) - 2a(a^2+3a-2) + 1(a^2+3a-2)$ Раскрываем скобки: $= a^4 + 3a^3 - 2a^2 - 2a^3 - 6a^2 + 4a + a^2 + 3a - 2$ Приводим подобные слагаемые: $= a^4 + (3a^3 - 2a^3) + (-2a^2 - 6a^2 + a^2) + (4a + 3a) - 2$ $= a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2$ **Ответ:** $a^4 + a^3 - 7a^2 + 7a - 2$ 4) $(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1)$ Это выражение является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$. Здесь $x = a$ и $y = 1$, а вторая скобка является неполным квадратом разности с чередующимися знаками. Такое выражение называется суммой $n$-х степеней, а в общем виде это $\frac{x^n+y^n}{x+y}$ для нечётных $n$. В данном случае это $a^5+1^5 = a^5+1$. Или, перемножим каждый член первой скобки на каждый член второй скобки: $(a+1)(a^4-a^3+a^2-a+1) = a(a^4-a^3+a^2-a+1) + 1(a^4-a^3+a^2-a+1)$ Раскрываем скобки: $= a^5 - a^4 + a^3 - a^2 + a + a^4 - a^3 + a^2 - a + 1$ Приводим подобные слагаемые: $= a^5 + (-a^4 + a^4) + (a^3 - a^3) + (-a^2 + a^2) + (a - a) + 1$ $= a^5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1$ $= a^5 + 1$ **Ответ:** $a^5 + 1$