Найдём углы параллелограмма $ABCD$:
а) Если $\angle A = 81^\circ$, то $\angle C = \angle A = 81^\circ$ (противоположные углы параллелограмма равны).
$\,\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 81^\circ = 99^\circ$ (сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$).
$\,\angle D = \angle B = 99^\circ$ (противоположные углы параллелограмма равны).
**Ответ:** $\angle A = 81^\circ, \angle B = 99^\circ, \angle C = 81^\circ, \angle D = 99^\circ$
б) Если $\angle A - \angle B = 65^\circ$ и $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (углы, прилежащие к одной стороне):
Сложим два уравнения:
$$
(\angle A - \angle B) + (\angle A + \angle B) = 65^\circ + 180^\circ \\
2\angle A = 245^\circ \\
\angle A = \frac{245^\circ}{2} = 122.5^\circ
$$
Теперь найдём $\angle B$:
$$
\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 122.5^\circ = 57.5^\circ
$$
Тогда $\angle C = \angle A = 122.5^\circ$ и $\angle D = \angle B = 57.5^\circ$.
**Ответ:** $\angle A = 122.5^\circ, \angle B = 57.5^\circ, \angle C = 122.5^\circ, \angle D = 57.5^\circ$
в) Если $\angle A + \angle C = 142^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, то:
$$
2\angle A = 142^\circ \\
\angle A = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ
$$
Значит, $\angle C = 71^\circ$.
Тогда $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$.
И $\angle D = \angle B = 109^\circ$.
**Ответ:** $\angle A = 71^\circ, \angle B = 109^\circ, \angle C = 71^\circ, \angle D = 109^\circ$
г) Если $\angle A = 2\angle B$. Также мы знаем, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Подставим первое выражение во второе:
$$
2\angle B + \angle B = 180^\circ \\
3\angle B = 180^\circ \\
\angle B = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ
$$
Тогда $\angle A = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Значит, $\angle C = \angle A = 120^\circ$ и $\angle D = \angle B = 60^\circ$.
**Ответ:** $\angle A = 120^\circ, \angle B = 60^\circ, \angle C = 120^\circ, \angle D = 60^\circ$
д) Если $\angle CAD = 16^\circ$ и $\angle ACD = 37^\circ$. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ делит его на два треугольника $ADC$ и $ABC$.
В треугольнике $ADC$ сумма углов равна $180^\circ$.
$$
\angle D = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - 16^\circ - 37^\circ = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ
$$
Так как $AD \parallel BC$, то $\angle ACB = \angle CAD = 16^\circ$ (как накрест лежащие углы при секущей $AC$).
Так как $AB \parallel DC$, то $\angle BAC = \angle ACD = 37^\circ$ (как накрест лежащие углы при секущей $AC$).
Теперь найдём $\angle A$ и $\angle C$:
$$
\angle A = \angle CAD + \angle BAC = 16^\circ + 37^\circ = 53^\circ
$$
$$
\angle C = \angle ACB + \angle ACD = 16^\circ + 37^\circ = 53^\circ
$$
Ой, это не так. $\angle C = \angle BCA + \angle ACD$. Противоположные углы параллелограмма равны, значит $\angle A = \angle C$.
$$
\angle A = \angle CAD + \angle BAC = 16^\circ + 37^\circ = 53^\circ
$$
И $\angle C = \angle A = 53^\circ$.
Тогда $\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.
И $\angle D = \angle B = 127^\circ$.
Проверим: в треугольнике $ADC$, $\angle DAC = 16^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$. $\angle ADC = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.
$\,\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$. Мы знаем, что $\angle CAB = \angle ACD = 37^\circ$ (накрест лежащие углы при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$).
Значит $\angle A = 16^\circ + 37^\circ = 53^\circ$.
Противоположный угол $\angle C = 53^\circ$.
Соседний угол $\angle B = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.
Противоположный угол $\angle D = 127^\circ$.
**Ответ:** $\angle A = 53^\circ, \angle B = 127^\circ, \angle C = 53^\circ, \angle D = 127^\circ$
