Докажите, что в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $BM$ и $B_1M_1$ равны, $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$.

Дано: в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ медианы $BM$ и $B_1M_1$ равны, $AB=A_1B_1$, $AC=A_1C_1$. Доказать: $\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1$. 1. Так как медианы $BM$ и $B_1M_1$ равны, то $BM = B_1M_1$. 2. Медиана делит сторону пополам, значит $AM = MC = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = M_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$. 3. По условию $AC = A_1C_1$, следовательно $AM = A_1M_1$. 4. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $A_1B_1M_1$. У них: * $AB = A_1B_1$ (по условию) * $BM = B_1M_1$ (по условию) * $AM = A_1M_1$ (доказано в п.3) 5. Значит, треугольники $ABM$ и $A_1B_1M_1$ равны по трём сторонам (III признак равенства треугольников). 6. Из равенства треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ следует, что соответствующие углы равны: $\angle BAM = \angle B_1A_1M_1$, то есть $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$. 7. Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. У них: * $AB = A_1B_1$ (по условию) * $AC = A_1C_1$ (по условию) * $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$ (доказано в п.6) 8. Значит, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников). **Что и требовалось доказать.**