Вычислить интеграл: 1) $$\int_{1}^{3} \left( \frac{3}{x} + x^2 \right) dx$$

1) Чтобы вычислить определенный интеграл, сначала найдем первообразную функции, а потом подставим пределы интегрирования. $$ \int \left( \frac{3}{x} + x^2 \right) dx = 3 \int \frac{1}{x} dx + \int x^2 dx = 3 \ln|x| + \frac{x^3}{3} + C $$ Теперь вычислим определенный интеграл: $$ \int_{1}^{3} \left( \frac{3}{x} + x^2 \right) dx = \left[ 3 \ln|x| + \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} $$ Подставляем верхний предел (3) и вычитаем значение функции при нижнем пределе (1): $$ \left( 3 \ln|3| + \frac{3^3}{3} \right) - \left( 3 \ln|1| + \frac{1^3}{3} \right) $$ Зная, что $$\ln|1| = 0$$ и $$\frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$$: $$ \left( 3 \ln 3 + 9 \right) - \left( 3 \cdot 0 + \frac{1}{3} \right) = 3 \ln 3 + 9 - \frac{1}{3} $$ $$ = 3 \ln 3 + \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = 3 \ln 3 + \frac{26}{3} $$ **Ответ:** $$\frac{26}{3} + 3 \ln 3$$ 2) Для вычисления интеграла $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$$ используем формулу понижения степени для синуса: $$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$$. $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx $$ Разобьем интеграл на два: $$ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos(2x)) dx = \frac{1}{2} \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) dx \right] $$ Найдем первообразные: $$ \int 1 dx = x $$ $$ \int \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \sin(2x) $$ Теперь подставим пределы интегрирования: $$ = \frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{2} \sin(2x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$ Подставляем верхний предел $$\left( \frac{\pi}{2} \right)$$ и вычитаем значение функции при нижнем пределе (0): $$ = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \sin(2 \cdot 0) \right) \right] $$ Зная, что $$\sin(\pi) = 0$$ и $$\sin(0) = 0$$: $$ = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 \right) - \left( 0 - \frac{1}{2} \cdot 0 \right) \right] $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} $$ **Ответ:** $$\frac{\pi}{4}$$