1. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите основание треугольника

1. Пусть боковая сторона треугольника будет $x$ см. Тогда основание будет $2x$ см. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: $P = x + x + 2x = 50$ $4x = 50$ $x = 12.5$ см Основание равно $2 \times 12.5 = 25$ см. **Ответ: 25 см** 2. **Допущение:** Треугольник равнобедренный, и один из углов равен $106^\circ$. Поскольку в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а сумма всех углов равна $180^\circ$, угол $106^\circ$ не может быть углом при основании, так как $106^\circ + 106^\circ > 180^\circ$. Значит, $106^\circ$ — это угол между боковыми сторонами. Углы при основании равны: $(180^\circ - 106^\circ) / 2 = 74^\circ / 2 = 37^\circ$ **Ответ: $106^\circ, 37^\circ, 37^\circ$** 3. **Допущение:** Треугольник равнобедренный, и угол при основании равен $54^\circ$. Поскольку углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, второй угол при основании тоже равен $54^\circ$. Угол при вершине равен: $180^\circ - (54^\circ + 54^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$ **Ответ: $54^\circ, 54^\circ, 72^\circ$** 4. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC=10$ см, $AC=16$ см) медианы пересекаются в точке $O$. Сначала найдем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому $AH = HC = AC/2 = 16/2 = 8$ см. Из прямоугольного треугольника $BHC$ (или $BHA$) по теореме Пифагора: $BH^2 + HC^2 = BC^2$ $BH^2 + 8^2 = 10^2$ $BH^2 + 64 = 100$ $BH^2 = 100 - 64$ $BH^2 = 36$ $BH = 6$ см. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Значит, $BO:OH = 2:1$ и $AO:OE = 2:1$ (если $E$ — середина $BC$). Нам нужно найти расстояние от точки $O$ до вершины $A$. Для этого нужна длина медианы $AE$. По теореме медиан (или теореме Аполлония), длина медианы $m_a$ к стороне $a$ находится по формуле: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$ Здесь $m_a = AE$, $b = BC = 10$ см, $c = AB = 10$ см, $a = AC = 16$ см. (Это неверно, $a$ это $BC$, $b$ это $AC$, $c$ это $AB$. В данном случае $a=AC=16$, $b=BC=10$, $c=AB=10$. Медиана $AE$ проведена к стороне $BC$.) Правильнее использовать, что $O$ делит медиану $AE$ в отношении $2:1$, а $AE$ — это медиана, проведенная к стороне $BC$. Медиана к боковой стороне $BC$ (обозначим ее $m_b$, где $b$ это $AC$, $a$ это $AB$, $c$ это $BC$) $m_b = AE$ Или, так как $O$ — точка пересечения медиан, она лежит на медиане $BH$. $BO = \frac{2}{3}BH = \frac{2}{3} \times 6 = 4$ см. $OH = \frac{1}{3}BH = \frac{1}{3} \times 6 = 2$ см. Расстояние от точки $O$ до вершины $A$. Рассмотрим треугольник $AHO$. Это прямоугольный треугольник, так как $BH$ - высота, значит $BH \perp AC$. $AO^2 = AH^2 + OH^2$ $AO^2 = 8^2 + 2^2$ $AO^2 = 64 + 4$ $AO^2 = 68$ $AO = \sqrt{68} = \sqrt{4 \times 17} = 2\sqrt{17}$ см. **Ответ: $2\sqrt{17}$ см**