Преобразуйте в дробь выражение $\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4}$

Преобразуйте в дробь выражение: а) $$\frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4}$$ Приведём дроби к общему знаменателю $(y-2)(y+2) = y^2-4$: $$\frac{4(y-2)}{(y+2)(y-2)} - \frac{3(y+2)}{(y-2)(y+2)} + \frac{12}{y^2-4} = \frac{4y-8 - (3y+6) + 12}{y^2-4}$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{4y-8-3y-6+12}{y^2-4} = \frac{y-2}{y^2-4}$$ Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов и сократим дробь: $$\frac{y-2}{(y-2)(y+2)} = \frac{1}{y+2}$$ **Ответ:** $\frac{1}{y+2}$ б) $$\frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2}$$ Приведём дроби к общему знаменателю $(a-6)(a+6) = a^2-36$. Заметим, что $36-a^2 = -(a^2-36)$. $$\frac{a(a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{3(a-6)}{(a+6)(a-6)} + \frac{a^2}{-(a^2-36)}$$ $$\frac{a(a+6)}{a^2-36} - \frac{3(a-6)}{a^2-36} - \frac{a^2}{a^2-36} = \frac{a^2+6a - (3a-18) - a^2}{a^2-36}$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{a^2+6a-3a+18-a^2}{a^2-36} = \frac{3a+18}{a^2-36}$$ Вынесем общий множитель в числителе и разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов: $$\frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)} = \frac{3}{a-6}$$ **Ответ:** $\frac{3}{a-6}$ в) $$\frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y}$$ Заметим, что $2x-2y = 2(x-y)$. Приведём дроби к общему знаменателю $2(x-y)^2$: $$\frac{x^2 \cdot 2}{(x-y)^2 \cdot 2} - \frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)(x-y)} = \frac{2x^2 - (x^2-y^2)}{2(x-y)^2}$$ Раскроем скобки и упростим числитель: $$\frac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x-y)^2} = \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}$$ **Ответ:** $\frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2}$ г) $$\frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2-ab}$$ Заметим, что $b^2-ab = b(b-a) = -b(a-b)$. Приведём дроби к общему знаменателю $b(a-b)^2$: $$\frac{b \cdot b}{(a-b)^2 \cdot b} - \frac{(a+b)(-(a-b))}{b(a-b)^2}$$ $$\frac{b^2}{b(a-b)^2} - \frac{-(a^2-b^2)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a^2-b^2)}{b(a-b)^2}$$ Упростим числитель: $$\frac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2}$$ **Ответ:** $\frac{a^2}{b(a-b)^2}$