Найдите углы равнобедренного остроугольного треугольника ABC, если высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC, пересекаются в точке M и угол BMC = 140°.

Пусть треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB=AC$. $BD$ и $CE$ — высоты, проведенные к боковым сторонам $AC$ и $AB$ соответственно, они пересекаются в точке $M$. Тогда $BD \perp AC$ и $CE \perp AB$. Рассмотрим четырёхугольник $ADME$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$. В нём углы $MDA = 90^\circ$ и $MEA = 90^\circ$, так как $BD$ и $CE$ — высоты. Угол $DME$ — вертикальный углу $BMC$, поэтому $\angle DME = \angle BMC = 140^\circ$. Сумма углов четырёхугольника $ADME$: $$\angle A + \angle ADM + \angle DME + \angle MEA = 360^\circ$$ $$\angle A + 90^\circ + 140^\circ + 90^\circ = 360^\circ$$ $$\angle A + 320^\circ = 360^\circ$$ $$\angle A = 360^\circ - 320^\circ$$ $$\angle A = 40^\circ$$ Теперь найдём углы при основании $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Углы при основании равны: $$\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2}$$ $$\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2}$$ $$\angle B = \angle C = \frac{140^\circ}{2}$$ $$\angle B = \angle C = 70^\circ$$ **Ответ:** Углы треугольника $ABC$ равны $40^\circ$, $70^\circ$, $70^\circ$.