Найдите наибольшее значение функции $y = -4 \cos x - \frac{39}{\pi}x - 5$ на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$

Чтобы найти наибольшее значение функции, сначала нужно найти её производную и приравнять к нулю. 1. Найдем производную функции: $$y' = (-4 \cos x - \frac{39}{\pi}x - 5)'$$ $$y' = (-4 \cos x)' - (\frac{39}{\pi}x)' - (5)'$$ $$y' = 4 \sin x - \frac{39}{\pi}$$ 2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$4 \sin x - \frac{39}{\pi} = 0$$ $$4 \sin x = \frac{39}{\pi}$$ $$\sin x = \frac{39}{4\pi}$$ Приближенное значение $\frac{39}{4\pi} \approx \frac{39}{4 \cdot 3.14} \approx \frac{39}{12.56} \approx 3.105$. Так как значение $\sin x$ не может быть больше 1 (или меньше -1), то уравнение $\sin x = \frac{39}{4\pi}$ не имеет решений. Это значит, что у функции нет критических точек на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[-\frac{2\pi}{3}; 0]$. 3. Поскольку производная функции $y' = 4 \sin x - \frac{39}{\pi}$ не равна нулю, это означает, что функция монотонна на заданном отрезке. Чтобы определить монотонность, нужно понять знак производной. Мы знаем, что $-1 \le \sin x \le 1$. Значит, $4 \sin x$ находится в диапазоне от $-4$ до $4$. $\, \frac{39}{\pi} \approx \frac{39}{3.14} \approx 12.42$. Следовательно, $y' = 4 \sin x - \frac{39}{\pi}$ всегда отрицательна, потому что даже наибольшее значение $4 \sin x$ (то есть 4) минус $\frac{39}{\pi}$ (около 12.42) даст отрицательное число ($4 - 12.42 = -8.42$). Значит, $y' < 0$ на всем отрезке, и функция $y$ убывает. 4. Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левой границе отрезка. В нашем случае это $x = -\frac{2\pi}{3}$. Подставим $x = -\frac{2\pi}{3}$ в исходную функцию: $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -4 \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \frac{39}{\pi}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - 5$$ Мы знаем, что $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, поэтому $\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$. Также $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$. Подставляем значения: $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{39}{\pi}\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - 5$$ $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 2 + \frac{39 \cdot 2\pi}{3\pi} - 5$$ $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 2 + \frac{78\pi}{3\pi} - 5$$ $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 2 + 26 - 5$$ $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 28 - 5$$ $$y\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = 23$$ **Ответ:** 23