Найти площадь параллелограмма $ABCD$, если $AB \perp BD$, $\angle A = 45^ ext{o}$, $AD = 10$ см.

1. Чтобы найти площадь параллелограмма, нам нужно знать его сторону и высоту, проведённую к этой стороне. В данном случае у нас есть сторона $AD = 10$ см, угол $A = 45^ ext{o}$ и известно, что $AB \perp BD$. 2. Поскольку $AB \perp BD$, это означает, что треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. 3. В прямоугольном треугольнике $ABD$: - Угол $A = 45^ ext{o}$ - Угол $ABD = 90^ ext{o}$ - Тогда угол $ADB = 180^ ext{o} - 90^ ext{o} - 45^ ext{o} = 45^ ext{o}$. 4. Так как углы $A$ и $ADB$ равны ($45^ ext{o}$), треугольник $ABD$ является равнобедренным. Значит, стороны, лежащие против этих углов, равны: $AB = BD$. 5. Используем тригонометрические соотношения в треугольнике $ABD$: - $\sin A = \frac{BD}{AD}$ - $\sin 45^ ext{o} = \frac{BD}{10}$ - $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{BD}{10}$ - $BD = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см. 6. Так как $AB = BD$, то $AB = 5\sqrt{2}$ см. 7. Площадь параллелограмма $ABCD$ можно найти по формуле: $S = AD \cdot AB \cdot \sin A$. - $S = 10 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin 45^ ext{o}$ - $S = 50\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ - $S = 50 \cdot \frac{2}{2}$ - $S = 50$ см$^2$. **Ответ:** $50$ см$^2$