Найдите объём пирамиды, если основанием пирамиды является треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см, а двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны 60°.

1. Найдем площадь основания (треугольника) по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{6 + 25 + 29}{2} = \frac{60}{2} = 30$ см. Площадь $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30(30-6)(30-25)(30-29)} = \sqrt{30 \cdot 24 \cdot 5 \cdot 1} = \sqrt{3600} = 60$ см$^2$. 2. Так как все двугранные углы при рёбрах основания равны, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания. Найдем радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{60}{30} = 2$ см. 3. Найдем высоту пирамиды $H$. Высота пирамиды, радиус вписанной окружности и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник, где угол между апофемой и радиусом равен $60^{\circ}$. $H = r \cdot \text{tg}(60^{\circ}) = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см. 4. Найдем объем пирамиды. $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 60 \cdot 2\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ см$^3$. **Ответ:** $40\sqrt{3}$ см$^3$