1. Найдите значение выражения. а). $6^{7}/12 + ( 5^{3}/40 – 4^{8}/15 ); б). 5^{2}/3 : 1^{}/3 – 1^{7}/12 * 6.$

1. Найдите значение выражения. a) $6\frac{7}{12} + (5\frac{3}{40} - 4\frac{8}{15})$ Сначала выполним вычитание в скобках: $5\frac{3}{40} - 4\frac{8}{15} = \frac{5 \cdot 40 + 3}{40} - \frac{4 \cdot 15 + 8}{15} = \frac{203}{40} - \frac{68}{15}$ Найдем общий знаменатель для 40 и 15. НОК(40, 15) = 120. $\frac{203}{40} - \frac{68}{15} = \frac{203 \cdot 3}{40 \cdot 3} - \frac{68 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{609}{120} - \frac{544}{120} = \frac{609 - 544}{120} = \frac{65}{120}$ Теперь сократим дробь $\frac{65}{120}$: разделим числитель и знаменатель на 5. $\frac{65}{120} = \frac{65 \div 5}{120 \div 5} = \frac{13}{24}$ Теперь прибавим к $6\frac{7}{12}$ полученное значение: $6\frac{7}{12} + \frac{13}{24} = \frac{6 \cdot 12 + 7}{12} + \frac{13}{24} = \frac{79}{12} + \frac{13}{24}$ Найдем общий знаменатель: НОК(12, 24) = 24. $\frac{79}{12} + \frac{13}{24} = \frac{79 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{13}{24} = \frac{158}{24} + \frac{13}{24} = \frac{158 + 13}{24} = \frac{171}{24}$ Выделим целую часть: $171 \div 24 = 7$ с остатком $3$. $\frac{171}{24} = 7\frac{3}{24}$ Сократим дробную часть: $7\frac{3}{24} = 7\frac{3 \div 3}{24 \div 3} = 7\frac{1}{8}$ **Ответ а): $7\frac{1}{8}$** б) $5\frac{2}{3} : \frac{1}{3} - 1\frac{7}{12} \cdot 6$ Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: $5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$ $1\frac{7}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 7}{12} = \frac{19}{12}$ Теперь выполним деление: $\frac{17}{3} : \frac{1}{3} = \frac{17}{3} \cdot \frac{3}{1} = \frac{17 \cdot 3}{3 \cdot 1} = 17$ Теперь выполним умножение: $\frac{19}{12} \cdot 6 = \frac{19 \cdot 6}{12} = \frac{19}{2}$ Переведем $\frac{19}{2}$ в десятичную дробь или смешанную, если нужно, или оставим как есть. $\frac{19}{2} = 9.5$ или $9\frac{1}{2}$ Теперь выполним вычитание: $17 - 9.5 = 7.5$ **Ответ б): $7.5$** 2. Решите пропорцию. $12:x=15:3,6$ Пропорция выглядит так: $\frac{12}{x} = \frac{15}{3.6}$ Чтобы найти $x$, можно использовать свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних членов): $12 \cdot 3.6 = x \cdot 15$ $43.2 = 15x$ Теперь разделим обе части на 15: $x = \frac{43.2}{15}$ Выполним деление: $$\begin{array}{ccc|l} 4 & 3 & .2 & 15 \\ \hline 3 & 0 & & 2.88 \\ \hline 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \\ \hline & 1 & 2 & 0 \\ & 1 & 2 & 0 \\ \hline & & 0 \end{array}$$ $x = 2.88$ **Ответ: $x = 2.88$** 3. Решите задачу. В магазин привезли 726 кг яблок. До обеда продали 28%. Сколько кг яблок продали до обеда? Чтобы найти, сколько килограммов яблок продали, нужно найти 28% от 726 кг. $28\% \text{ от } 726 \text{ кг} = 726 \cdot \frac{28}{100}$ $726 \cdot 0.28$ Умножим: $726 \cdot 28 = 20328$ Теперь разделим на 100: $20328 \div 100 = 203.28$ **Ответ: До обеда продали 203.28 кг яблок.** 4. Решите задачу. В первый день туристы проехали 76 % пути. После этого осталось проехать 150 км. Каков намеченный путь? Если туристы проехали 76% пути, то оставшаяся часть пути составляет $100\% - 76\% = 24\%$. Известно, что эти оставшиеся 24% составляют 150 км. Пусть весь намеченный путь будет $x$ км. Тогда $24\% \text{ от } x = 150 \text{ км}$. $\frac{24}{100} \cdot x = 150$ $x = \frac{150 \cdot 100}{24}$ $x = \frac{15000}{24}$ Выполним деление: $$\begin{array}{cccc|l} 1 & 5 & 0 & 0 & 0 & 24 \\ \hline 1 & 4 & 4 & & & 625 \\ \hline & 6 & 0 & \\ & 4 & 8 & \\ \hline & 1 & 2 & 0 \\ & 1 & 2 & 0 \\ \hline & & & 0 \end{array}$$ $x = 625$ **Ответ: Намеченный путь составляет 625 км.**