Проверьте подобие треугольников с заданными сторонами AB = 24 см, BC = 26 см, AC = 24 см и MK = 36 см, KP = 39 см, MP = 36 см.

1. Проверим подобие треугольников по соотношению сторон: $$\frac{AB}{KM} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{BC}{MP} = \frac{26}{36}$$ $$\frac{AC}{KP} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$$ Так как отношения сторон не равны (например, $$\frac{1}{2} \neq \frac{26}{36}$$), то треугольники не подобны. **Ответ: Треугольники не подобны.** 2. Проверим подобие треугольников $\triangle MPK$ и $\triangle ABC$. Дано: $\angle K = 48^{\circ}$, $KM = 48$, $KP = 18$, $AB = 36$, $AC = 54$, $\angle A = 48^{\circ}$. Сравним углы: $\angle K = \angle A = 48^{\circ}$. Сравним отношения сторон, прилежащих к этим углам: $$\frac{KM}{AB} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$$ $$\frac{KP}{AC} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$$ Так как отношения прилежащих сторон не равны ($$\frac{4}{3} \neq \frac{1}{3}$$), то треугольники не подобны по двум сторонам и углу между ними. **Ответ: Треугольники не подобны.** 3. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены середины сторон точки M и K соответственно. MK = 6. 1) Найдите сторону AC. Так как M и K — середины сторон AB и BC, то MK является средней линией треугольника ABC. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Значит, $MK = \frac{1}{2} AC$. Отсюда, $AC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 6 = 12$. **Ответ: $AC = 12$.** 2) Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 48. Треугольник MBK подобен треугольнику ABC по двум сторонам и углу между ними ($\angle B$ общий, $\frac{MB}{AB} = \frac{BK}{BC} = \frac{1}{2}$). Коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$\frac{S_{\triangle MBK}}{S_{\triangle ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$ Значит, $S_{\triangle MBK} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} \cdot 48 = 12$. **Ответ: $S_{\triangle MBK} = 12$.** 4. ABCD — трапеция ($BC \parallel AD$). O — точка пересечения диагоналей трапеции. $AO = 6$, $OC = 2$, $AD = 9$. Найдите длину отрезка BC. В трапеции ABCD с основаниями BC и AD и диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам ($\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные, $\angle OCB = \angle OAD$ как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей AC). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{AO}$$ Подставим известные значения: $$\frac{BC}{9} = \frac{2}{6}$$ $$\frac{BC}{9} = \frac{1}{3}$$ $$BC = 9 \cdot \frac{1}{3}$$ $$BC = 3$$ **Ответ: $BC = 3$.** 5. В треугольнике ABC медианы AK и BP пересекаются в точке О. Найдите OK, если AK = 15. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, точка O делит медиану AK в отношении $AO : OK = 2 : 1$. Это означает, что $OK = \frac{1}{3} AK$. Подставим значение $AK = 15$: $$OK = \frac{1}{3} \cdot 15$$ $$OK = 5$$ **Ответ: $OK = 5$.**