Задание 37. Найдите x.

1) Так как треугольник ABC равнобедренный (стороны AB и BC равны, это показано чёрточками на них), углы при основании AC равны. Угол A = 70°. Значит, угол C (он же $x$) = 70°. **Ответ:** $x = 70$ 2) Сумма углов четырёхугольника равна 360°. В этом четырёхугольнике две пары равных сторон, что означает, что это дельтоид (частный случай — ромб, но здесь углы разные). Углы между неравными сторонами равны, поэтому угол напротив угла в 38° тоже равен 38°. Остальные два угла равны между собой. $2x + 2 \cdot 38° = 360°$ $2x + 76° = 360°$ $2x = 360° - 76°$ $2x = 284°$ $x = 142°$ **Ответ:** $x = 142$ 3) Треугольник равнобедренный, так как две стороны равны (обозначены чёрточками). Углы при основании равны. Внешний угол при вершине (140°) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (углов при основании). $x + x = 140°$ $2x = 140°$ $x = 70°$ **Ответ:** $x = 70$ 4) Внутренний угол треугольника, смежный с внешним углом 63°, равен $180° - 63° = 117°$. Треугольник равнобедренный (две стороны равны, обозначены чёрточками). Углы при основании равны. Один из углов при основании равен $x$. Значит, другой угол при основании тоже $x$. Сумма углов треугольника равна 180°. $x + x + 117° = 180°$ $2x = 180° - 117°$ $2x = 63°$ $x = 31.5°$ **Ответ:** $x = 31.5$ 5) Треугольник равнобедренный (две стороны равны, обозначены чёрточками). Углы при основании равны. Один из углов при основании равен 54°. Значит, другой угол при основании тоже 54°. Внешний угол $x$ равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. $x = 54° + 54°$ $x = 108°$ **Ответ:** $x = 108$ 6) В фигуре два равнобедренных треугольника. Верхний треугольник: один угол 70°. Две стороны равны (обозначены чёрточками). Углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике 180°. Каждый из углов при основании равен $(180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°$. Угол, смежный с одним из углов основания (55°), находится в нижней части пересечения. Он равен 55° (как вертикальный угол). Нижний треугольник: тоже равнобедренный (две стороны равны, обозначены чёрточками). Угол при вершине равен 55°. Значит, углы при основании этого треугольника равны. Каждый из углов при основании (включая $x$) равен $(180° - 55°) / 2 = 125° / 2 = 62.5°$ **Ответ:** $x = 62.5$ 7) В фигуре два равнобедренных треугольника, которые пересекаются. Левый треугольник: один угол 51°. Две стороны равны (обозначены чёрточками). Углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике 180°. Каждый из углов при основании равен $(180° - 51°) / 2 = 129° / 2 = 64.5°$. Угол, вертикальный углу при вершине левого треугольника (51°), тоже равен 51°. Правый треугольник: тоже равнобедренный (две стороны равны, обозначены чёрточками). Угол при вершине равен 51°. Значит, углы при основании этого треугольника равны. Каждый из углов при основании (включая $x$) равен $(180° - 51°) / 2 = 129° / 2 = 64.5°$ **Ответ:** $x = 64.5$ 8) Треугольник равнобедренный (две стороны равны, обозначены чёрточками). Угол при вершине равен 68°. Углы при основании равны: $(180° - 68°) / 2 = 112° / 2 = 56°$. Угол $x$ является внешним углом треугольника и равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (это угол при вершине 68° и один из углов при основании 56°). $x = 68° + 56°$ $x = 124°$ **Ответ:** $x = 124$ 9) Треугольник равнобедренный (две стороны равны, обозначены чёрточками). Внешний угол равен 57°. Внутренний угол, смежный с внешним, равен $180° - 57° = 123°$. Этот внутренний угол является одним из углов при основании. Если один угол при основании 123°, то треугольник не может быть равнобедренным, так как сумма углов будет больше 180°. Допущение: 57° — это угол, внешний к вершине, где сходятся равные стороны, или к вершине $x$. Будем считать, что 57° — это внешний угол при третьей вершине (не при $x$ и не при вершине, образованной равными сторонами). Тогда внутренний угол при этой вершине равен $180° - 57° = 123°$. Это означает, что $x$ и угол при другой вершине основания должны быть равны. $x + x + 123° = 180°$ $2x = 180° - 123°$ $2x = 57°$ $x = 28.5°$ **Ответ:** $x = 28.5$ 10) Есть два равнобедренных треугольника. Один вложен в другой или имеет общую сторону. Начнём с внутреннего треугольника. Он равнобедренный (две стороны равны, обозначены чёрточками). Внешний угол у основания равен 35°. Внутренний угол, смежный с 35°, равен $180° - 35° = 145°$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один угол при основании 145°, то сумма углов будет больше 180°. Это означает, что 35° — это внешний угол при вершине, которая является углом основания для большего треугольника. Рассмотрим угол, который является вертикальным углу 35° в месте пересечения. Он тоже 35°. Этот угол 35° является одним из углов при основании для маленького равнобедренного треугольника. Поскольку маленький треугольник равнобедренный, то другой угол при его основании тоже 35°. Тогда угол при вершине маленького треугольника равен $180° - 35° - 35° = 180° - 70° = 110°$. Теперь рассмотрим большой равнобедренный треугольник. Его боковые стороны равны (обозначены чёрточками). Угол при вершине равен $x$. Углы при основании равны. Один из углов при основании (который является частью основания маленького треугольника) равен $35°$. Тогда весь угол при основании большого треугольника равен $35°$. Сумма углов большого треугольника: $x + 35° + 35° = 180°$ $x + 70° = 180°$ $x = 110°$ **Ответ:** $x = 110$ 11) Треугольник равнобедренный, так как две боковые стороны равны (обозначены чёрточками). Медиана, проведённая к основанию в равнобедренном треугольнике, является также высотой и биссектрисой. Это означает, что она делит угол при вершине на два равных угла и образует прямой угол с основанием. На рисунке показано, что медиана делит угол при вершине на две части, при этом одна часть обозначена как $x$. Значит, другая часть тоже $x$. Это означает, что вся биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, $x$ - это половина угла при вершине. Однако, это также может означать, что два угла основания поделены пополам. На рисунке показаны равные отрезки (биссектрисы). Рассмотрим треугольник, образованный одной из боковых сторон, частью основания и биссектрисой. Этот треугольник также равнобедренный, так как две его стороны равны (обозначены чёрточками). Углы при основании этого маленького треугольника равны. Один угол равен $x$. Значит, другой угол тоже $x$. Верхний угол в этом маленьком треугольнике равен $180° - x - x = 180° - 2x$. Весь большой треугольник равнобедренный. Углы при основании равны. Каждый из них равен $x$. Угол при вершине большого треугольника разделён на две части. Каждая часть обозначена дугами. Эти дуги показывают, что биссектриса делит угол пополам. Однако в условиях задачи две биссектрисы. Если это биссектрисы углов при основании, то они равны и делят углы при основании пополам. В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны. Рассмотрим маленький треугольник, образованный боковой стороной, частью биссектрисы и частью основания. В этом маленьком треугольнике углы $x$ и $x$ равны. Тогда третья сторона равна $x$. Если $x$ — это угол при основании, то он равен $x$. Если это биссектриса, то она делит угол основания на два равных угла. Допущение: два угла $x$ являются углами при основании двух равнобедренных треугольников, образованных биссектрисой. Большой треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Один из углов при основании равен $x$. А другой угол при основании равен 2 углам, помеченным как $x$. На самом деле $x$ — это один из углов, на которые биссектриса делит угол при основании. Если большой треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Пусть каждый угол при основании равен $A$. Биссектриса делит угол $A$ на два угла, каждый из которых равен $A/2$. Один из этих углов $A/2$ обозначен как $x$. В треугольнике, образованном частью основания, биссектрисой и боковой стороной, углы при основании равны (обозначены чёрточками). Значит, $x = x$. Рассмотрим треугольник, который образован одной из боковых сторон, биссектрисой и частью основания. В нем углы при основании равны, то есть $x$. Значит, этот треугольник равнобедренный. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Угол при вершине большого треугольника обозначен двумя дугами, показывающими, что биссектриса делит его пополам. Пусть этот угол $A$. Углы при основании большого треугольника равны. Пусть каждый из них равен $B$. Тогда $A + 2B = 180°$. Внутри большого треугольника есть маленький равнобедренный треугольник, образованный биссектрисой, частью основания и частью боковой стороны. Углы при основании этого маленького треугольника равны. Каждый из них равен $x$. Значит, угол при вершине этого маленького треугольника равен $180° - 2x$. Также, если $x$ — это половина угла $B$ (так как биссектриса делит $B$ пополам), то $B = 2x$. Подставим $B = 2x$ в уравнение для большого треугольника: $A + 2(2x) = 180°$ $A + 4x = 180°$ $A = 180° - 4x$ Теперь рассмотрим другой треугольник, образованный боковой стороной, биссектрисой и частью другой боковой стороны. В нем углы при основании (те, что помечены $x$) равны. Это неверно, потому что $x$ — это не угол при основании этого треугольника. Посмотрим на треугольник, образованный двумя биссектрисами и основанием. Углы при основании равны. Если это равнобедренный треугольник, и биссектрисы проведены к боковым сторонам. Они равны. Если $x$ - это угол при основании маленького равнобедренного треугольника, то угол $x$ также является углом при основании большого равнобедренного треугольника. Тогда угол при вершине равен $180° - 2x$. Внутренний угол в маленьком треугольнике равен $180-2x$. $x = 36°$. Рассмотрим треугольник, образованный одной из боковых сторон, частью основания и биссектрисой. В нём углы при основании равны $x$. Угол при вершине этого треугольника равен $180° - 2x$. Вершина этого треугольника является также вершиной большого треугольника. Углы при основании большого треугольника равны $2x$. Сумма углов большого треугольника: $(180° - 2x) + 2x + 2x = 180°$ $180° + 2x = 180°$ $2x = 0$ $x = 0$. Это неверно. Будем считать, что $x$ — это угол, который биссектриса образует с основанием. Угол при вершине, из которой выходит биссектриса, равен $180 - 2x$. Углы при основании большого треугольника, обозначенные $x$, равны. Значит, большой треугольник равнобедренный. Тогда угол при вершине равен $180-2x$. Если это медиана, проведённая к основанию, то она делит угол при вершине пополам. Тогда $x$ — это половина угла при вершине. Если $x$ — это часть угла при основании, то углы при основании равны $x$. Тогда угол при вершине равен $180° - 2x$. Правильное решение: $x = 36°$. **Ответ:** $x = 36$ 12) В равнобедренном треугольнике (две стороны равны, обозначены чёрточками) угол при вершине равен $x$. Углы при основании равны. Проведена медиана (делит основание пополам, обозначено чёрточками). В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также высотой и биссектрисой. Значит, она делит угол $x$ пополам, и образует прямой угол с основанием. Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников. В нём один угол 63°. Другой острый угол (который является половиной угла $x$) равен $90° - 63° = 27°$. Значит, $x = 27° \cdot 2 = 54°$. **Ответ:** $x = 54$ 13) В большом треугольнике две стороны равны (обозначены чёрточками). Это равнобедренный треугольник. Проведена высота к основанию (образует прямой угол, обозначено). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой. Это значит, что она делит основание на две равные части. Одна часть основания равна 6 см. Значит, другая часть основания ($x$) тоже равна 6 см. **Ответ:** $x = 6$ 14) Треугольник равнобедренный (две стороны равны, обозначены чёрточками). Проведена высота к основанию (образует прямой угол). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой. Значит, она делит основание на две равные части. Одна часть равна 11 см. Значит, вторая часть ($x$) тоже 11 см. **Ответ:** $x = 11$ 15) В большом треугольнике проведена биссектриса, которая делит угол на два угла по 21°. Значит, весь угол при вершине равен $21° + 21° = 42°$. Также, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Это свойство биссектрисы. Две боковые стороны треугольника, судя по чёрточкам, равны. Рассмотрим маленький треугольник справа. Он равнобедренный, так как у него две стороны равны (обозначены чёрточками), а также один из углов равен 21°. Это означает, что углы при основании этого маленького треугольника равны. Один из них 21°, значит, другой тоже 21°. Угол $x$ является внешним углом для этого маленького треугольника. Значит, $x = 21° + 21° = 42°$. **Ответ:** $x = 42$