Решить неравенства

1. $1-x^2 \geq 0$ $x^2 \leq 1$ $-1 \leq x \leq 1$ **Ответ: $x \in [-1; 1]$** 2. $(x-3)(x+5) < 0$ Найдём корни уравнения $(x-3)(x+5) = 0$: $x=3$ или $x=-5$. Используем метод интервалов: :::div .chart-container @chart-1::: Проверяем знаки на интервалах: * Если $x < -5$, например $x=-6$: $(-6-3)(-6+5) = (-9)(-1) = 9 > 0$. * Если $-5 < x < 3$, например $x=0$: $(0-3)(0+5) = (-3)(5) = -15 < 0$. * Если $x > 3$, например $x=4$: $(4-3)(4+5) = (1)(9) = 9 > 0$. Нам нужны значения, где $(x-3)(x+5) < 0$. **Ответ: $x \in (-5; 3)$** 3. $x(7x)(1+x) \geq 0$ Найдём корни уравнения $x(7x)(1+x) = 0$: $x=0$ или $7x=0 \Rightarrow x=0$ или $1+x=0 \Rightarrow x=-1$. Корни: $-1$ и $0$. Используем метод интервалов: :::div .chart-container @chart-2::: Проверяем знаки на интервалах: * Если $x < -1$, например $x=-2$: $(-2)(7 \cdot -2)(1-2) = (-2)(-14)(-1) = -28 < 0$. * Если $-1 < x < 0$, например $x=-0.5$: $(-0.5)(7 \cdot -0.5)(1-0.5) = (-0.5)(-3.5)(0.5) = 0.875 > 0$. * Если $x > 0$, например $x=1$: $(1)(7 \cdot 1)(1+1) = (1)(7)(2) = 14 > 0$. Нам нужны значения, где $x(7x)(1+x) \geq 0$. **Ответ: $x \in [-1; 0] \cup [0; +\infty) \Rightarrow x \in [-1; +\infty)$** 4. $\frac{x-4}{x+5} \leq 0$ Найдём корни числителя и знаменателя: Числитель: $x-4=0 \Rightarrow x=4$. Знаменатель: $x+5=0 \Rightarrow x=-5$. Знаменатель не может быть равен нулю, значит $x \neq -5$. Используем метод интервалов: :::div .chart-container @chart-3::: Проверяем знаки на интервалах: * Если $x < -5$, например $x=-6$: $\frac{-6-4}{-6+5} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$. * Если $-5 < x < 4$, например $x=0$: $\frac{0-4}{0+5} = \frac{-4}{5} = -0.8 < 0$. * Если $x > 4$, например $x=5$: $\frac{5-4}{5+5} = \frac{1}{10} = 0.1 > 0$. Нам нужны значения, где $\frac{x-4}{x+5} \leq 0$. Учитывая, что $x \neq -5$. **Ответ: $x \in (-5; 4]$**