Решить уравнение $3^{1-2x} = 9^{x+1}$

2) $3^{1-2x} = 9^{x+1}$ Преобразуем правую часть уравнения так, чтобы основание стало $3$: $9 = 3^2$. Тогда уравнение примет вид: $$3^{1-2x} = (3^2)^{x+1}$$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $$3^{1-2x} = 3^{2(x+1)}$$ $$3^{1-2x} = 3^{2x+2}$$ Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: $$1-2x = 2x+2$$ Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$-2x - 2x = 2 - 1$$ $$-4x = 1$$ $$x = -\frac{1}{4}$$ **Ответ:** $x = -\frac{1}{4}$ 4) $8^{2-3x} = 4^{3+x}$ Преобразуем обе части уравнения так, чтобы основания стали одинаковыми. Можно использовать основание $2$, так как $8=2^3$ и $4=2^2$. $$(2^3)^{2-3x} = (2^2)^{3+x}$$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $$2^{3(2-3x)} = 2^{2(3+x)}$$ $$2^{6-9x} = 2^{6+2x}$$ Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: $$6-9x = 6+2x$$ Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$-9x - 2x = 6 - 6$$ $$-11x = 0$$ $$x = 0$$ **Ответ:** $x = 0$ 6) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} = (64)^{3-x}$ Преобразуем обе части уравнения к одному основанию. Можно использовать основание $4$: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$ и $64 = 4^3$. Подставим эти значения в уравнение: $$(4^{-1})^{x+1} = (4^3)^{3-x}$$ Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $$4^{-1(x+1)} = 4^{3(3-x)}$$ $$4^{-x-1} = 4^{9-3x}$$ Так как основания равны, то и показатели должны быть равны: $$-x-1 = 9-3x$$ Перенесём слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую: $$-x + 3x = 9 + 1$$ $$2x = 10$$ $$x = 5$$ **Ответ:** $x = 5$