Найдите углы треугольника АВС, если через точку С окружности проведена касательная CD, не параллельная диаметру АВ (рис. 16) и ∠DCA = 160°.

1. Угол между касательной CD и хордой АС равен углу, опирающемуся на эту хорду, то есть углу $\angle ABC$. $$\angle ABC = \angle DCA - \angle BCA$$ $$\angle ABC = 160^\circ - \angle BCA$$ 2. Диаметр AB делит окружность на две полуокружности. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Значит, $\angle BCA = 90^\circ$. 3. Теперь найдём $\angle ABC$: $$\angle ABC = \angle BCA = 90^\circ$$ $$\angle ABC = 160^\circ - 90^\circ = 70^\circ$$ 4. В треугольнике ABC сумма углов равна $180^\circ$. Мы знаем $\angle BCA = 90^\circ$ и $\angle ABC = 70^\circ$. Найдём $\angle BAC$: $$\angle BAC = 180^\circ - (\angle BCA + \angle ABC)$$ $$\angle BAC = 180^\circ - (90^\circ + 70^\circ)$$ $$\angle BAC = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$$ **Ответ:** Углы треугольника АВС: $\angle BAC = 20^\circ$, $\angle ABC = 70^\circ$, $\angle BCA = 90^\circ$.