Решите уравнение $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$.

20. Решим уравнение $x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$. Сгруппируем слагаемые: $$(x^3 + 2x^2) - (x + 2) = 0$$ Вынесем общие множители: $$x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$$ $$(x + 2)(x^2 - 1) = 0$$ Разложим $x^2 - 1$ как разность квадратов: $$(x + 2)(x - 1)(x + 1) = 0$$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$$ $$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$$ $$x + 1 = 0 \implies x_3 = -1$$ **Ответ: $-2; -1; 1$** 21. Пусть весь путь автомобиля равен $S$. Тогда первая половина пути — $\frac{S}{2}$, и вторая половина пути — $\frac{S}{2}$. Время, затраченное на первую половину пути ($t_1$): $$t_1 = \frac{S/2}{84} = \frac{S}{168}$$ ч Время, затраченное на вторую половину пути ($t_2$): $$t_2 = \frac{S/2}{108} = \frac{S}{216}$$ ч Общее время в пути ($t_{общ}$): $$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{168} + \frac{S}{216}$$ Найдем общий знаменатель для 168 и 216. Разложим числа на простые множители: $168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$ $216 = 2^3 \cdot 3^3$ Наименьшее общее кратное (НОК) = $2^3 \cdot 3^3 \cdot 7 = 8 \cdot 27 \cdot 7 = 1512$ $$t_{общ} = \frac{S \cdot 9}{1512} + \frac{S \cdot 7}{1512} = \frac{9S + 7S}{1512} = \frac{16S}{1512} = \frac{S}{94.5}$$ ч Средняя скорость ($V_{ср}$) определяется как весь путь, деленный на общее время: $$V_{ср} = \frac{S}{t_{общ}} = \frac{S}{S/94.5} = 94.5$$ км/ч **Ответ: $94.5$ км/ч** 22. Построим график функции $y = \frac{1}{2} \left( \left| \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \right| + \frac{x}{4.5} + \frac{4.5}{x} \right)$. Обозначим $a = \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}$. Тогда функция примет вид $y = \frac{1}{2}(|a| + a)$. Если $a \ge 0$, то $|a| = a$, и $y = \frac{1}{2}(a + a) = \frac{1}{2}(2a) = a$. Если $a < 0$, то $|a| = -a$, и $y = \frac{1}{2}(-a + a) = \frac{1}{2}(0) = 0$. Таким образом, $y = \begin{cases} \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}, & \text{если } \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \ge 0 \\ 0, & \text{если } \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} < 0 \end{cases}$. Рассмотрим условие $\frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x} \ge 0$. Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x^2 - 4.5^2}{4.5x} \ge 0$$ $$\frac{x^2 - 20.25}{4.5x} \ge 0$$ Разложим числитель на множители: $(x - 4.5)(x + 4.5)$. $$\frac{(x - 4.5)(x + 4.5)}{4.5x} \ge 0$$ Найдем корни числителя и знаменателя: $x = 4.5$, $x = -4.5$, $x = 0$. Ось $x$ разбивается на интервалы: * $x < -4.5$: Например, $x = -5$. $(?rac{(-)(-)}{(-)})=\frac{(+)}{(-)} < 0$. * $-4.5 < x < 0$: Например, $x = -1$. $(?rac{(-)(+)}{(-)})=\frac{(-)}{(-)} > 0$. * $0 < x < 4.5$: Например, $x = 1$. $(?rac{(-)(+)}{(+)})=\frac{(-)}{(+)} < 0$. * $x > 4.5$: Например, $x = 5$. $(?rac{(+)(+)}{(+)})=\frac{(+)}{(+)} > 0$. Итак, $\frac{x^2 - 20.25}{4.5x} \ge 0$ при $x \in [-4.5; 0) \cup [4.5; +\infty)$. Следовательно, функция $y$ принимает вид: $$y = \begin{cases} \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}, & \text{если } x \in [-4.5; 0) \cup [4.5; +\infty) \\ 0, & \text{если } x \in (-\infty; -4.5) \cup (0; 4.5) \end{cases}$$ Для построения графика: 1. На интервалах $(-\infty; -4.5)$ и $(0; 4.5)$ функция $y = 0$. Это горизонтальные отрезки на оси $x$. 2. На интервалах $[-4.5; 0)$ и $[4.5; +\infty)$ функция $y = \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}$. * При $x = 4.5$, $y = \frac{4.5}{4.5} - \frac{4.5}{4.5} = 1 - 1 = 0$. * При $x = -4.5$, $y = \frac{-4.5}{4.5} - \frac{4.5}{-4.5} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$. График будет состоять из двух горизонтальных отрезков на оси $x$ и двух гиперболоподобных ветвей, исходящих из точек $(-4.5, 0)$ и $(4.5, 0)$ и асимптотически приближающихся к линиям $y = x/4.5$ и $y = -4.5/x$. :::div .chart-container @chart-1::: Определим, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку. Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая. Из графика видно: * Если $m=0$, прямая $y=0$ (ось $x$) пересекает график на интервалах $(-\infty; -4.5)$, $(0; 4.5)$ и в точках $x=-4.5$ и $x=4.5$. Это бесконечно много точек, поэтому $m \ne 0$. * На интервале $x \in [-4.5; 0)$, функция $y = \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}$. При $x \to 0^-$, $y \to +\infty$. При $x = -4.5$, $y=0$. На этом интервале функция возрастает от $0$ до $+ \infty$. Здесь могут быть значения $m > 0$. * На интервале $x \in [4.5; +\infty)$, функция $y = \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. При $x = 4.5$, $y=0$. На этом интервале функция также возрастает от $0$ до $+ \infty$. Здесь могут быть значения $m > 0$. Рассмотрим производную функции $y = \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}$: $$y' = \frac{1}{4.5} + \frac{4.5}{x^2}$$ На интервалах $[-4.5; 0)$ и $[4.5; +\infty)$, $y' > 0$, то есть функция возрастает. Из анализа графика: * При $m > 0$, прямая $y = m$ пересекает каждую из веток $y = \frac{x}{4.5} - \frac{4.5}{x}$ в одной точке. Всего две точки. * При $m < 0$, прямая $y = m$ не пересекает ни одну из веток, так как наименьшее значение функции на этих ветвях равно 0. * При $m = 0$, есть бесконечно много точек пересечения. Значит, нет таких значений $m$, при которых прямая $y=m$ имеет ровно одну общую точку с графиком функции. **Ответ: таких значений $m$ нет** 23. **Допущение:** Речь идет о трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $DC$, а отрезки $AC$ и $BD$ — диагонали, которые пересекаются в точке $M$. Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle CMD$. Так как $AB \parallel DC$, то: * $\angle MAB = \angle MCD$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $AC$) * $\angle MBA = \angle MDC$ (накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $DC$ и секущей $BD$) Таким образом, $\triangle AMB \sim \triangle CMD$ по двум углам. Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон: $$\frac{AM}{CM} = \frac{BM}{DM} = \frac{AB}{DC}$$ Нам дано $AB = 12$ и $DC = 48$. Тогда коэффициент подобия $k = \frac{AB}{DC} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}$. Значит: $$\frac{AM}{CM} = \frac{1}{4} \implies CM = 4 \cdot AM$$ Также дано $AC = 35$. Мы знаем, что $AC = AM + CM$. Подставим $CM = 4 eplace AM$: $$AC = AM + 4 \cdot AM$$ $$AC = 5 \cdot AM$$ $$35 = 5 \cdot AM$$ $$AM = \frac{35}{5} = 7$$ Теперь найдем $MC$: $$MC = 4 \cdot AM = 4 \cdot 7 = 28$$ **Ответ: $MC = 28$**