Решите неравенства: 1. $(x-4)(2x+3) > 0$

1. $(x-4)(2x+3) > 0$ Найдем корни уравнения $(x-4)(2x+3) = 0$: $x-4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$ $2x+3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$ Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $(x-4)(2x+3)$ на полученных интервалах. Интервалы: $(-\infty; -1.5)$, $(-1.5; 4)$, $(4; +\infty)$ * При $x < -1.5$ (например, $x = -2$): $(-2-4)(2(-2)+3) = (-6)(-1) = 6 > 0$ * При $-1.5 < x < 4$ (например, $x = 0$): $(0-4)(2(0)+3) = (-4)(3) = -12 < 0$ * При $x > 4$ (например, $x = 5$): $(5-4)(2(5)+3) = (1)(13) = 13 > 0$ Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. **Ответ:** $x \in (-\infty; -1.5) \cup (4; +\infty)$ 2. $x(x+7) < 8$ Сначала раскроем скобки и перенесем 8 в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство: $x^2 + 7x < 8$ $x^2 + 7x - 8 < 0$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 7x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$ $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$ У нас парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 + 7x - 8 < 0$ выполняется, когда график параболы находится ниже оси x. **Ответ:** $x \in (-8; 1)$ 3. $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ $x_2 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ У нас парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - 3x - 4 \ge 0$ выполняется, когда график параболы находится на оси x или выше нее. **Ответ:** $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$