Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $(|x + 2| + |x - a|)^2 - 5 \cdot (|x + 2| + |x - a|) + 3a(5 - 3a) = 0$ имеет ровно два различных решения.

Пусть $y = |x + 2| + |x - a|$. Тогда уравнение принимает вид $y^2 - 5y + 3a(5 - 3a) = 0$. Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3a(5 - 3a) = 25 - 60a + 36a^2 = (6a - 5)^2$$ Корни уравнения для $y$: $$y_1 = \frac{5 - (6a - 5)}{2} = \frac{5 - 6a + 5}{2} = \frac{10 - 6a}{2} = 5 - 3a$$ $$y_2 = \frac{5 + (6a - 5)}{2} = \frac{5 + 6a - 5}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$$ Итак, мы имеем два возможных случая для $y$: 1. $|x + 2| + |x - a| = 5 - 3a$ 2. $|x + 2| + |x - a| = 3a$ Функция $f(x) = |x + 2| + |x - a|$ описывает сумму расстояний от точки $x$ до точек $-2$ и $a$. Ее график имеет вид "галочки" с вершиной в точке между $-2$ и $a$. Свойства функции $f(x)$: * Если $a = -2$, то $f(x) = |x + 2| + |x + 2| = 2|x + 2|$. Тогда $f_{min} = 0$ при $x = -2$. * Если $a \neq -2$, то $f_{min} = |a - (-2)| = |a + 2|$. Это значение достигается для любого $x \in [min(-2, a), max(-2, a)]$. * При $x < min(-2, a)$ или $x > max(-2, a)$ функция $f(x)$ возрастает или убывает линейно с угловым коэффициентом $\pm 2$. * График функции $f(x)$ симметричен относительно середины отрезка $[-2, a]$. Для того чтобы уравнение имело ровно два различных решения, нужно рассмотреть следующие ситуации: **Случай 1: $5 - 3a = 3a$** $5 - 3a = 3a \Rightarrow 5 = 6a \Rightarrow a = \frac{5}{6}$. Тогда оба уравнения совпадают: $|x + 2| + |x - \frac{5}{6}| = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{2}$. Минимальное значение $f(x)$ в этом случае равно $|\frac{5}{6} - (-2)| = |\frac{5}{6} + \frac{12}{6}| = \frac{17}{6}$. Так как $\frac{5}{2} = \frac{15}{6}$, то $\frac{15}{6} < \frac{17}{6}$. В этом случае $f(x) = \frac{5}{2}$ не имеет решений, так как $\frac{5}{2}$ меньше минимального значения функции $f(x)$. Значит, $a = \frac{5}{6}$ не подходит. **Случай 2: $y_1 \neq y_2$ и каждое из уравнений $|x+2|+|x-a|=y_1$ и $|x+2|+|x-a|=y_2$ имеет одно решение.** Это происходит, когда $y_1 = f_{min}$ и $y_2 = f_{min}$ (но это не подходит, так как $y_1 \neq y_2$) или когда $y_1$ или $y_2$ находится на уровне вершины функции, то есть $y_1 = |a+2|$ или $y_2 = |a+2|$, и второе значение $y$ больше минимального. Если $y = f_{min}$, то решений бесконечно много (если $a \neq -2$), а нам нужно ровно 2 решения. Если $y > f_{min}$, то решений два. Посмотрим на количество решений для каждого уравнения: * Если $y < |a+2|$ (или $y < 0$, что невозможно для суммы модулей), то решений нет. * Если $y = |a+2|$, то решений бесконечно много, если $a \neq -2$. Если $a = -2$, то $f(x) = 2|x+2|$, и $f_{min} = 0$. Если $y = 0$, то $x = -2$ - одно решение. * Если $y > |a+2|$ (и $a \neq -2$), то решений ровно два. Нам нужно, чтобы ровно одно из уравнений давало два решения, а другое не давало решений, или оба давали по одному решению, что в сумме даст два. Рассмотрим возможные случаи: **Случай А: $a = -2$** Уравнение становится $y_1 = 5 - 3(-2) = 11$ и $y_2 = 3(-2) = -6$. $f(x) = 2|x+2|$. Минимальное значение $f(x)$ равно $0$ при $x=-2$. Уравнение $2|x+2| = 11$ имеет два решения ($x+2 = \pm \frac{11}{2}$). Уравнение $2|x+2| = -6$ не имеет решений. Значит, при $a = -2$ получаем ровно два решения. $a = -2$ подходит. **Случай Б: $a \neq -2$** Тогда $f_{min} = |a+2|$. Мы хотим, чтобы в сумме было 2 решения. Это возможно в следующих подслучаях: **Подслучай Б1: Одно из значений $y_1, y_2$ равно $|a+2|$, а другое значение меньше $|a+2|$ или равно $0$ (невозможно для $|a+2|$ если $a \neq -2$).** Если одно из $y_i = |a+2|$, то это дает бесконечно много решений, что не подходит. Или $y_i=0$ при $a \neq -2$, тогда $|a+2|$ будет больше 0. Это также не подходит. **Подслучай Б2: Одно из значений $y_1, y_2$ больше $|a+2|$, а другое меньше $|a+2|$ (и не равно $|a+2|$ и не равно 0)**. *Пусть $y_1 > |a+2|$ и $y_2 < |a+2|$ (или $y_2 < 0$, что тоже означает отсутствие решений). Нам нужно, чтобы одно уравнение дало два решения, а другое — ноль решений. Тогда должно быть: $y_1 = 5 - 3a > |a+2|$ (даст два решения) $y_2 = 3a < |a+2|$ (даст ноль решений, так как $3a$ не может быть отрицательным, если $a>0$, а если $a<0$, то $3a$ будет отрицательным) Или наоборот: $y_2 = 3a > |a+2|$ (даст два решения) $y_1 = 5 - 3a < |a+2|$ (даст ноль решений) И нужно не забыть, что $y_1 > 0$ и $y_2 > 0$ всегда. Давай рассмотрим диапазоны для $a$. **1. $a > -2$** Тогда $|a+2| = a+2$. Нам нужно, чтобы один из корней $y_1, y_2$ был больше $a+2$, а другой либо меньше $a+2$, либо отрицательным. а) $y_1 = 5 - 3a > a+2$ и $y_2 = 3a \le a+2$ $5 - 3a > a+2 \Rightarrow 3 > 4a \Rightarrow a < \frac{3}{4}$ $3a \le a+2 \Rightarrow 2a \le 2 \Rightarrow a \le 1$ Итак, $a \in (-2, \frac{3}{4})$. В этом интервале: $y_1 = 5 - 3a$ дает два решения, а $y_2 = 3a$ дает ноль решений, если $3a < a+2$, т.е. $a < 1$. Если $3a = a+2 \Rightarrow a=1$, тогда $y_2=a+2$. Это бесконечно много решений, не подходит. Если $3a < 0$, то нет решений. $a<0$. Таким образом, для $a \in (-2, 0) \cup [0, \frac{3}{4})$: - Если $a \in (-2, 0)$, то $y_2 = 3a < 0$, решений нет. $y_1 = 5-3a > a+2$, два решения. Подходит. - Если $a \in [0, \frac{3}{4})$, то $0 \le 3a < a+2$. Решений нет. $y_1 = 5-3a > a+2$, два решения. Подходит. Значит, $a \in (-2, \frac{3}{4})$ является решением. б) $y_2 = 3a > a+2$ и $y_1 = 5 - 3a \le a+2$ $3a > a+2 \Rightarrow 2a > 2 \Rightarrow a > 1$ $5 - 3a \le a+2 \Rightarrow 3 \le 4a \Rightarrow a \ge \frac{3}{4}$ Итак, $a > 1$. В этом интервале: $y_2 = 3a$ дает два решения, а $y_1 = 5 - 3a$ дает ноль решений, если $5-3a < a+2$, т.е. $a > \frac{3}{4}$. Если $5-3a = 0$, то $a = \frac{5}{3}$. В этом случае $y_1=0$, решений нет. $y_2=3a = 5 > a+2 = \frac{5}{3}+2 = \frac{11}{3}$. $5 > \frac{11}{3}$, два решения. Подходит. Значит $a = \frac{5}{3}$ подходит. Значит, $a \in (1, \infty)$ является решением. **2. $a < -2$** Тогда $|a+2| = -(a+2) = -a-2$. Нам нужно, чтобы один из корней $y_1, y_2$ был больше $-a-2$, а другой либо меньше $-a-2$, либо отрицательным. а) $y_1 = 5 - 3a > -a-2$ и $y_2 = 3a \le -a-2$ $5 - 3a > -a-2 \Rightarrow 7 > 2a \Rightarrow a < \frac{7}{2}$ $3a \le -a-2 \Rightarrow 4a \le -2 \Rightarrow a \le -\frac{1}{2}$ Итак, $a < -2$ (пересечение с $a < -\frac{1}{2}$ и $a < \frac{7}{2}$). В этом интервале $a < -2$: $y_1 = 5 - 3a$ дает два решения, а $y_2 = 3a$ дает ноль решений, так как $3a$ отрицательное и $3a < -a-2$ ($a < -\frac{1}{2}$). Подходит. Значит, $a \in (-\infty, -2)$ является решением. б) $y_2 = 3a > -a-2$ и $y_1 = 5 - 3a \le -a-2$ $3a > -a-2 \Rightarrow 4a > -2 \Rightarrow a > -\frac{1}{2}$ $5 - 3a \le -a-2 \Rightarrow 7 \le 2a \Rightarrow a \ge \frac{7}{2}$ Итак, $a \ge \frac{7}{2}$. Но этот интервал не пересекается с $a < -2$. Значит, здесь нет решений. **Объединяем результаты:** Мы получили следующие интервалы для $a$: 1. $a = -2$ 2. $a \in (-2, \frac{3}{4})$ 3. $a \in (1, \infty)$ 4. $a \in (-\infty, -2)$ Объединяя все эти интервалы, получаем: $a \in (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (1, \infty)$. **Ответ:** $a \in (-\infty, \frac{3}{4}) \cup (1, \infty)$